Zdravo, pokusavam da resim ovaj zadatak pa su mi se nametnula neka pitanja
Treba da ispitam konvergenciju reda
Na internetu nasao sam test za konvergenciju etc i tamo ovaj red divergira
Ali kod mene konvergira ili je nesto neodredjeno
Evo sta sam sve pokusao

Opsti clan [inlmath]a_n[/inlmath] je:
[dispmath]\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{\sqrt[3]n}[/dispmath] Probao sam da [inlmath]a_n[/inlmath] uporedim sa [inlmath]\displaystyle\frac{1}{n^{4/3}}[/inlmath] jer on je konvergentan, ali kao resenje za [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}[/inlmath], dobijam beskonacnost pa kako ona pripada [inlmath](0,\infty)[/inlmath] pa moze se reci da oba ili konvergiraju ili divergiraju, u mom slucaju konvergiraju, sto nije tacno resenje?

Drugo sta sam probao da uporedim [inlmath]\displaystyle\frac{a_n}{a_{n+1}}[/inlmath]
Ali tu dobijam [inlmath]\displaystyle\frac{0}{0}[/inlmath], pa verovatno treba Lopitalovo pravilo?

Kako da pristupim ovom zadatku?

Zdravo. Pretpostavljam da si sledeći zapis,

Loophoop je napisao:[dispmath]((n+1)^{(1/2)} - n^{(1/2)} )/ n^{(1/3)}[/dispmath]

hteo zapravo da napišeš ovako: [inlmath]\displaystyle\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{\sqrt[3]n}[/inlmath]. Korigovao sam Latex u tvom postu, proveri samo da li je ovako sve u redu.

Da, ovaj red divergira. Pošto u brojiocu imamo razliku dva korena pri čemu oba za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] teže beskonačnosti, zgodno je da na brojilac primenimo formulu za razliku kvadrata, [inlmath]\displaystyle a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}[/inlmath], kako bi se kvadrati skratili s korenima. Nakon toga, dobićeš izraz za [inlmath]a_n[/inlmath] koji je zgodan da se primeni poređenje s odgovarajućim [inlmath]p[/inlmath]-redom, [inlmath]\displaystyle\sum\frac{1}{n^p}[/inlmath].

Loophoop je napisao:Probao sam da [inlmath]a_n[/inlmath] uporedim sa [inlmath]\displaystyle\frac{1}{n^{4/3}}[/inlmath] jer on je konvergentan, ali kao resenje za [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}[/inlmath], dobijam beskonacnost pa kako ona pripada [inlmath](0,\infty)[/inlmath] pa moze se reci da oba ili konvergiraju ili divergiraju,

Da bi mogao da zaključiš da se oba reda ponašaju isto po pitanju konvergencije, potrebno je da navedeni limes bude neka konačna vrednost različita od nule. Čim si dobio beskonačno, znači da ne možeš na osnovu toga ništa zaključiti.

Loophoop je napisao:Drugo sta sam probao da uporedim [inlmath]\displaystyle\frac{a_n}{a_{n+1}}[/inlmath]
Ali tu dobijam [inlmath]\displaystyle\frac{0}{0}[/inlmath], pa verovatno treba Lopitalovo pravilo?

Ako bi išao preko d'Alemberta (pri čemu bi i za brojilac i za imenilac primenio malopre pomenutu formulu za razliku kvadrata ne bi li se oslobodio tih „nula“ u brojiocu i imeniocu – mada to zapravo i nisu nule već neodređeni izrazi, al' dobro), dobio bi da je limes tog količnika jednak jedinici, tako da nam ni d'Alembertov kriterijum ne bi ovde mnogo pomogao.

Hvala i hvala na korekciji, to je to
Hteo sam da vidim kako se pise ovaj lepsi/korektniji(tvoj) latex, ali vise nema u mom postu dugme izmeni... Izvinjavam se sto ce opet biti u ovom postu ruzan latex, potrudicu se uskoro da procitam vise o latex-u

Probao sam ovo tvoje, i dobijam da divergira, tacnije na kraju dobijam za limes [inlmath]n\to\infty[/inlmath],
[dispmath]\frac{1}{2\cdot n^{5/6}}[/dispmath] A ono sto sam ja probao, tacnije prvo, kada sam pretpostavio da za onaj limes granicna vrednost koja je beskonacnost, da posto je ona iz intervala [inlmath](0,\infty)[/inlmath] da oba ili konvergiraju ili divergiraju, logika je na osnovu ovog

Video sam uradjen zadatak
Red [inlmath]\displaystyle\frac{n!}{n^2}[/inlmath]
Pa opsti clan uporedjujemo sa [inlmath]\displaystyle\frac{1}{n}[/inlmath]
I na kraju dobijamo za [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}[/inlmath]
[dispmath](n-1)![/dispmath] sto je beskonacnost

Pa pise kako to pripada intervalu [inlmath](0,\infty)[/inlmath], i red s kojim smo ga uporedjivali divergira, te i on divergira?

...pa sam iz te logike mislio da vrednost kada uporedjujemo opsti clan sa nekim drugim, da granicna vrednost ne mora da bude konacna

Loophoop je napisao:Hteo sam da vidim kako se pise ovaj lepsi/korektniji(tvoj) latex, ali vise nema u mom postu dugme izmeni...

Dugme „Izmeni“ iliti „Uredi“ dostupno je prvih 15 minuta nakon objavljivanja posta. Ali, i dalje je dostupno dugme „Citiraj“, na koje kad klikneš takođe možeš videti Latex-kôd.
Alternativno, Latex-kod možeš videti i desnim klikom na neki Latex-izraz, pa zatim Show Math As [inlmath]\to[/inlmath] Tex Commands.

Loophoop je napisao:tacnije na kraju dobijam za limes [inlmath]n\to\infty[/inlmath],
[dispmath]\frac{1}{2\cdot n^{5/6}}[/dispmath]

Izražavajmo se precizno. Limes ne može biti [inlmath]\displaystyle\frac{1}{2n^{5/6}}[/inlmath], jer u njemu i dalje figuriše [inlmath]n[/inlmath]. Kada bi našao limes tog izraza, on bi bio nula, upravo zbog tog [inlmath]n[/inlmath] u imeniocu, koje teži beskonačnosti.

Ali, kada bi dobijeni izraz uporedio s opštim članom reda [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{5/6}}[/inlmath] za koji znamo da divergira, dobio bi limes količnika
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{1}{2n^{5/6}}}{\displaystyle\frac{1}{n^{5/6}}}=\frac{1}{2}[/dispmath] pa pošto je [inlmath]\displaystyle\frac{1}{2}[/inlmath] konačna konstanta različita od nule, zaključujemo da se red [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n^{5/6}}[/inlmath] ponaša isto kao i red [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{5/6}}[/inlmath], tj. da i on divergira.

Naravno, da red [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n^{5/6}}[/inlmath] divergira mogli smo zaključiti i bez kiriterijuma upoređivanja, tako što [inlmath]\displaystyle\frac{1}{2}[/inlmath] izvučemo ispred cele sume,
[dispmath]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n^{5/6}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{5/6}}[/dispmath] pa dobijemo proizvod konačne konstante različite od nule i sume reda koji divergira.

Loophoop je napisao:A ono sto sam ja probao, tacnije prvo, kada sam pretpostavio da za onaj limes granicna vrednost koja je beskonacnost, da posto je ona iz intervala [inlmath](0,\infty)[/inlmath] da oba ili konvergiraju ili divergiraju, logika je na osnovu ovog

Video sam uradjen zadatak
Red [inlmath]\displaystyle\frac{n!}{n^2}[/inlmath]
Pa opsti clan uporedjujemo sa [inlmath]\displaystyle\frac{1}{n}[/inlmath]
I na kraju dobijamo za [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}[/inlmath]
[dispmath](n-1)![/dispmath] sto je beskonacnost

Pa pise kako to pripada intervalu [inlmath](0,\infty)[/inlmath], i red s kojim smo ga uporedjivali divergira, te i on divergira?

...pa sam iz te logike mislio da vrednost kada uporedjujemo opsti clan sa nekim drugim, da granicna vrednost ne mora da bude konacna

Ukoliko je limes količnika jednak beskonačnosti, tada iz divergencije reda u imeniocu sledi i divergencija reda u brojiocu, kao što je u ovom primeru bio slučaj – što je logično, jer to znači da red u brojiocu brže teži beskonačnosti nego red u imeniocu (OK, znam, u brojiocu i imeniocu nisu redovi već njihovi opšti članovi, al' da sad ne komplikujem). Međutim, pogrešno je reći da se, kada je taj limes beskonačno, oba reda uvek ponašaju isto (tj. da ili oba konvergiraju ili oba divergiraju). Evo i primer. Uporedi redove s opštim članovima [inlmath]\displaystyle\frac{1}{n}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\frac{1}{n^2}[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{1}{n}}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}n=\infty[/dispmath] Pošto znaš da je red [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}[/inlmath] konvergentan, da li bi sad odatle zaključio da je i red [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}[/inlmath] konvergentan?

Ista priča i ako uradimo obrnuto, tj. ako uporedimo redove s opštim članovima [inlmath]\displaystyle\frac{1}{n^2}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\frac{1}{n}[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{1}{n^2}}{\displaystyle\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0[/dispmath] Red [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}[/inlmath] je divergentan, ali bi bilo pogrešno odavde zaključiti da je i red [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}[/inlmath] divergentan.

Znači, kod kriterijuma upoređivanja kod kojeg ispitujemo za dva reda da li se isto ponašaju (tj. da li ili oba konvergiraju ili oba divergiraju) potrebno je da limes količnika njihovih opštih članova bude jednak nekoj konačnoj konstanti različitoj od nule.
I, moram da se ne složim da beskonačnost pripada intervalu [inlmath](0,\infty)[/inlmath]. Oble zagrade označavaju otvoren interval, tj. interval koji ne uključuje granice, tako da intervalu [inlmath](0,\infty)[/inlmath] pripadaju svi pozitivni realni brojevi. Tom intervalu ne pripadaju ni nula, ni beskonačnost.

BTW za red [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{n^2}[/inlmath] može se vrlo lako zaključiti da divergira, čak i bez ikakvog kriterijuma upoređivanja, jer je limes njegovog opšteg člana:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{\cancel n(n-1)(n-2)!}{n^{\cancel2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\cancel n\left(1-\cancelto{0}{\frac{1}{n}}\right)(n-2)!}{\cancel n}=\lim_{n\to\infty}(n-2)!=\infty[/dispmath]