[dispmath]f(x)=\ln\left(\sqrt{e^x}+\frac{\sqrt{e^x}}{e^x-1}+1\right)[/dispmath]
Kako dobiti domenu? Ne uspijevam Očigledno je jedino da nula neće biti unutar područja definicije...

[dispmath]\sqrt{e^x}+\frac{\sqrt{e^x}}{e^x-1}+1>0[/dispmath]
Smena [inlmath]\sqrt{e^x}=t[/inlmath]
[dispmath]t+\frac{t}{t^2-1}+1>0[/dispmath][dispmath]\frac{t^3-\cancel t+\cancel t+t^2-1}{t^2-1}>0[/dispmath][dispmath]I\quad\left|t\right|>1\quad\Rightarrow\quad t^3+t^2-1>0[/dispmath][dispmath]II\quad\left|t\right|<1\quad\Rightarrow\quad t^3+t^2-1<0[/dispmath]
I, prema Wolframu:
[dispmath]t>1\quad\lor\quad -1<t<\frac{1}{3}\left[-1+\sqrt[3]{\frac{25}{2}-\frac{3\sqrt{69}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{25}{2}+\frac{3\sqrt{69}}{2}}\right][/dispmath]
Si siguran da si tačno napisao zadatak?

Provjerio sam i točan je 100% (u smislu, identičan je sa ispita). Vjerojatno je onda (opet) greška sastavljača, provjerit ću s nekim pa prepraviti zadatak Zato sam se i ja zapitao šta je ova domena ovako komplicirana

Saznao sam, zadatak ide ovako:
[dispmath]f(x)=\ln\left(\sqrt{e^x}+\frac{2\sqrt{e^x}}{e^x-1}\right)[/dispmath]
Problem mi stvara desna kosa asimptota (koju ne mogu dobti, a navjerojatnije postoji jer nema desne horizontalne...)
Preostalo ću postaviti sutra, danas sam izgorio.

eseper je napisao:koju ne mogu dobti, a navjerojatnije postoji jer nema desne horizontalne...

Ne mora da znači, imaš funkcije koje nemaju ni horizontalne ni kose asimptote, evo ti na primer [inlmath]f\left(x\right)=x^2[/inlmath]...
[dispmath]k=\lim_{x\to +\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\ln\left(\sqrt{e^x}+\frac{2\sqrt{e^x}}{e^x-1}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\ln\left[e^\frac{x}{2}\left(1+\frac{2}{e^x-1}\right)\right]=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\left[\ln e^\frac{x}{2}+\ln\left(1+\frac{2}{e^x-1}\right)\right]=\lim_{x\to +\infty}\left[\frac{1}{\cancel x}\cdot\frac{\cancel x}{2}+\frac{1}{x}\ln\left(1+\frac{2}{e^x-1}\right)\right]=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{2}+\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\ln\left(1+\frac{2}{e^x-1}\right)=\frac{1}{2}+\lim_{x\to +\infty}\ln\left(1+\frac{2}{e^x-1}\right)^\frac{1}{x}=[/dispmath]
[inlmath]x\to +\infty,\quad\frac{2}{e^x-1}\to 0[/inlmath]
[dispmath]=\frac{1}{2}+\lim_{x\to +\infty}\ln\left(1+\frac{2}{e^x-1}\right)^{\frac{e^x-1}{2}\cdot\frac{2}{e^x-1}\cdot\frac{1}{x}}=\frac{1}{2}+\lim_{x\to +\infty}\ln\left[\left(1+\frac{2}{e^x-1}\right)^\frac{e^x-1}{2}\right]^{\frac{2}{e^x-1}\cdot\frac{1}{x}}=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{2}+\ln e^{\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2}{e^x-1}\cdot\frac{1}{x}}=\frac{1}{2}+\lim_{x\to +\infty}\cancelto{0}{\frac{2}{e^x-1}\cdot\frac{1}{x}}=\frac{1}{2}[/dispmath]
Za [inlmath]l[/inlmath] ti je sada lako: [inlmath]kx=\frac{x}{2}=\ln e^\frac{x}{2}=\ln\sqrt{e^x}\dots[/inlmath] Dobićeš [inlmath]l=0[/inlmath].

Evo cjelovitog zadatka

- domena funkcije, vertikalne i horizontalne asimptote

- kosa asimptota, ekstremi, intervali monotonosti, graf funkcije

Drugi link: pošto mi je sa druge strane novi zadatak, napisao sam samo rješenje derivacije da mi sve može stati. Pogledaj nazivnik derivacije označen zelenom bojom: pitanje, da li se taj dio također treba razmatrati? Pretpostavljam da bi se trebao. Što sam i napravio, međutim rješenje tog komada je nula, a kako nula nije u domeni funkcije, to ništa ne utječe. Općenito, znam da sam te već pitao davno, ali kako "iz prve" prepoznati što se uzima za razmatranje (iz prve derivacije kao kandidat za ekstrem)? Npr., [inlmath]e^x[/inlmath] je uvijek veći od nule, pa se on ne razmatra ili kada je npr. [inlmath](x-2)^2[/inlmath] se također odmah vidi da "ne ide" u razmatranje... Postoji li neki kratki način, iz kojeg se to lako "spozna" ? Često se prevarim upravo na takvim stvarima...

Kosu asimptotu nisam mogao najpreciznije nacrtati zbog nedostatka prostora (mogao sam sve minijaturizirati ali nisam bio siguran hoće li se dobro vidjeti kad poslikam ).

Može domen i malo jednostavnije... Pošto si napisao uslov da je [inlmath]e^x\ne 1[/inlmath] tj. [inlmath]x\ne 0[/inlmath] i uveo smenu [inlmath]e^x=t[/inlmath], odmah možeš napisati da je [inlmath]t>0[/inlmath] (jer je [inlmath]e^x>0[/inlmath]) i da je [inlmath]t\ne 1[/inlmath] (jer si već postavio uslov da je [inlmath]e^x\ne 1[/inlmath]). Pa kad dođeš do nejednačine [inlmath]\frac{t\left(t^2+1\right)}{t^2-1}>0[/inlmath], imenilac rastaviš kao razliku kvadrata, [inlmath]\frac{t\left(t^2+1\right)}{\left(t+1\right)\left(t-1\right)}>0[/inlmath] i zatim možeš primetiti da su svi faktori osim faktora [inlmath]\left(t-1\right)[/inlmath] uvek veći od nule, prema tome, nejednačina se svodi samo na [inlmath]t-1>0[/inlmath].

Kosa asimptota: u redu je tvoj postupak za [inlmath]l[/inlmath], ali mislim da je elegantnije bez svođenja argumenta logaritma na zajednički imenilac:
[dispmath]l=\lim_{x\to +\infty}\left[f\left(x\right)-kx\right]=\lim_{x\to +\infty}\left[\ln\left(\sqrt{e^x}+\frac{2\sqrt{e^x}}{e^x-1}\right)-\ln\sqrt{e^x}\right]=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to +\infty}\ln\frac{\sqrt{e^x}+\frac{2\sqrt{e^x}}{e^x-1}}{\sqrt{e^x}}=\lim_{x\to +\infty}\ln\left(1+\cancelto{0}{\frac{2}{e^x-1}}\right)=\ln 1=0[/dispmath]

eseper je napisao:Pogledaj nazivnik derivacije označen zelenom bojom: pitanje, da li se taj dio također treba razmatrati? Pretpostavljam da bi se trebao. Što sam i napravio, međutim rješenje tog komada je nula, a kako nula nije u domeni funkcije, to ništa ne utječe.

Nije ga potrebno razmatrati, dovoljno je samo da imenilac, [inlmath]\left(e^{2x}-1\right)[/inlmath], rastaviš kao razliku kvadrata, [inlmath]\left(e^x+1\right)\left(e^x-1\right)[/inlmath] i napišeš da je prvi faktor, [inlmath]\left(e^x+1\right)[/inlmath], uvek pozitivan jer je [inlmath]e^x[/inlmath] uvek veće od nule, a drugi faktor, [inlmath]\left(e^x-1\right)[/inlmath], takođe je pozitivan u intervalu u kome je funkcija definisana, jer smo, prilikom određivanja domena, postavili uslov da je [inlmath]x>0[/inlmath], tj. da je [inlmath]e^x>1[/inlmath].

eseper je napisao:Općenito, znam da sam te već pitao davno, ali kako "iz prve" prepoznati što se uzima za razmatranje (iz prve derivacije kao kandidat za ekstrem)? Npr., [inlmath]e^x[/inlmath] je uvijek veći od nule, pa se on ne razmatra ili kada je npr. [inlmath](x-2)^2[/inlmath] se također odmah vidi da "ne ide" u razmatranje... Postoji li neki kratki način, iz kojeg se to lako "spozna" ? Često se prevarim upravo na takvim stvarima...

Teško je dati neki recept, pogotovo za prepoznavanje „iz prve“, jer je to više stvar intuicije i prakse. Ali, ono što svakako treba da uradiš, to je da faktorišeš sve što se faktorisati može (kao, u ovom slučaju, da ne ostavljaš izraz [inlmath]\left(e^{2x}-1\right)[/inlmath], već da ga raščlaniš kao razliku kvadrata) i da posmatraš da li je negde ranije u zadatku postavljen neki uslov iz koga se može videti da je neki od tih faktora uvek pozitivan (ili uvek negativan)...

eseper je napisao:Kosu asimptotu nisam mogao najpreciznije nacrtati zbog nedostatka prostora (mogao sam sve minijaturizirati ali nisam bio siguran hoće li se dobro vidjeti kad poslikam ).

Ma, dobro je sasvim.

P.S. Bilo bi lepo kad bi se i ostali malo uključili u ove teme oko grafika funkcija.