Fora je sigurno u brojiocu jer on igra ulogu predznaka.

sinus je pozitivan u drugom kvadrantu, ako se [inlmath]2x[/inlmath] nalazi u drugom kvadrantu onda se [inlmath]x[/inlmath] nalazi u prvom ili trecem kvadrantu i tada je tangens pozitivan, (kod onih pocetnih jednacina u prvom kvadrantu pred oba ona izraza ce biti predznak [inlmath]+[/inlmath] a kada je u pitanju treci kvadrant predznak ce biti [inlmath]-[/inlmath])... tako da ce u konacnom slucaju uvijek biti predznak [inlmath]+[/inlmath]

isto se moze zakljuciti i za cetvrti kvadrant

Gamma je napisao:Ključna formula je [inlmath]\sin2x=\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}[/inlmath]. Poslije je sve lako. Ono što mene zanima su formule ovog tipa.

Slazem se da ove formule za sinus i kosinus dvostrukog ugla izrazene preko tangensa nisu standardne, tj. ne koriste se nesto mnogo u skoli, ali veoma lako ih je izvesti tako da ne bi trebalo da predstavljaju neki veliki problem.

Mislim da mora postojati striktan dokaz, bez toga teoretskog dijela. Ali nema veze, pričekaćemo odgovor nekog stručnijeg.
@Ilija, eto probaj da izvedeš. Pa onda nam napiši postupak

ogranicen si...

Tema se stvarno rasplamsala, onako forumski...
Nemojte upotrebljavati reči koje nisu baš u skladu s Pravilnikom. Molim vas.

Sinisa je napisao:ogranicen si...

Ovo baš i nije ok, ali hajde da ublažim. Momci matematičke struke (kako misle devojke matematičke struke) su konvergentni.
Jer su ograničeni i monotoni.

Priznajte da ovo nije loše .

izvinjavam se, nisam htio nikoga uvrijediti... posto sam vec ustanovio zbog cega @gamma treba dodatno objasnjenje, razlozi su opravdani, ja cu mu ga i dati
[dispmath]\sin2x=2\sin x\cos x\\
\mathrm{tg}\:x=\frac{\sin x}{\cos x}[/dispmath]
ako je [inlmath]\sin2x[/inlmath] pozitivan onda je pozitivan i [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath], jedan je proizvod dva broja a drugi je kolicnik...

[inlmath]1+\mathrm{tg}^2x[/inlmath] je pozitivno za svako [inlmath]x[/inlmath]

@gamma, pokusaj ovu formulu izvesti tako sto ces naci [inlmath]\sin^22x[/inlmath] i kada taj izraz korijenujes dobices jednakost, vec sam ti objasnio zbog cega u prethodnim redovima...

Sinisa je napisao:ogranicen si...

Ne ukapirah na koga se ovo odnosilo, ali svakako

Gamma je napisao:Mislim da mora postojati striktan dokaz, bez toga teoretskog dijela. Ali nema veze, pričekaćemo odgovor nekog stručnijeg.
@Ilija, eto probaj da izvedeš. Pa onda nam napiši postupak

Pak, izvodjenje ovih formula moze se pronaci u knjigama, na internetu... Znaci, nisu one toliko misteriozne, ali evo da ih napisem ovde:

Sinus dvostrukog ugla:
[dispmath]\sin2x=2\sin x\cos x[/dispmath][dispmath]\sin2x=\frac{2\sin x\cos x}{1}[/dispmath][dispmath]\sin2x=\frac{2\sin x\cos x}{\sin^2x+\cos^2x}[/dispmath][dispmath]\sin2x=\frac{\cancel{\cos^2x}\cdot\frac{2\sin x}{\cos x}}{\cancel{\cos^2x}\cdot\left(\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+1\right)}[/dispmath][dispmath]\sin2x=\frac{\frac{2\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+1}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{\sin2x=\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}}[/dispmath]
Kosinus dvostrukog ugla:
[dispmath]\cos2x=\cos^2x-\sin^2x[/dispmath][dispmath]\cos2x=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{1}[/dispmath][dispmath]\cos2x=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\sin^2x+\cos^2x}[/dispmath][dispmath]\cos2x=\frac{\cancel{\cos^2x}\cdot\left(1-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\right)}{\cancel{\cos^2x}\cdot\left(\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+1\right)}[/dispmath][dispmath]\cos2x=\frac{1-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+1}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{\cos2x=\frac{1-\mathrm{tg}^2x}{1+\mathrm{tg}^2x}}[/dispmath]

@Siniša, iako mi se svideo tvoj način razmišljanja i zaključak da [inlmath]\sin2x[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath] moraju biti istog znaka, Gammina želja da se identitet izvede uz manje priče a više egzaktnog matematičkog računa, sasvim je legitimna i opravdana.
Takođe, podsetio bih te na tačku 2. Pravilnika

---

Ilijin račun je skroz tačan. Ipak, mislim da može i malo jednostavnije:
[dispmath]\sin2x=2\sin x\cos x=2\sin x\cos x\cdot\frac{\cos x}{\cos x}=2\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos^2x=2\mathrm{tg}\:x\cos^2x[/dispmath]
Zatim se primeni poznata formula za vezu kosinusa i tangensa, [inlmath]\cos^2x=\frac{1}{1+\mathrm{tg}^2x}[/inlmath] (možete je videti i u ovoj temi), čime se dobije [inlmath]\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}[/inlmath].

Slično i za [inlmath]\cos2x[/inlmath] (kad ga je već Ilija spomenuo),
[dispmath]\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=\cos^2x\cdot\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x}=\cos^2x\left(1-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\right)=\cos^2x\left(1-\mathrm{tg}^2x\right)[/dispmath]
i, nakon primene iste formule [inlmath]\cos^2x=\frac{1}{1+\mathrm{tg}^2x}[/inlmath], dobije se [inlmath]\frac{1-\mathrm{tg}^2x}{1+\mathrm{tg}^2x}[/inlmath].

Ipak sam bio u pravu. Ne bi bilo lose da nego napravi jos jedan tutorial za formule ovog tipa. Imao bih ja neku volju ali vidjecemo..
@Ilija, Iz koje je ovo knjige za trigonometriju? Imam ja onu za 4 casa sedmicno (Tosic i Seselja,I. Sarajevo) ali to tu nisam mogao naci.