Moze li mala pomoc oko ovog zadatka:
[dispmath]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{4n^2-1}[/dispmath]
Uzeo sam da mi je [inlmath]f(x)=(-1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{4n^2-1}[/inlmath], radio izvode do [inlmath]f'''=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}2nx^{2n+2}[/inlmath] i odavde se pogubim, kad trebam da pakujem i integralim.

Video sam preko hiljadu sumiranja u zadacima. Veruj mi da se u promilima meri kada je potreban i treći izvod, svako bi se pogubio
Evo ovako, posle prvog izvoda dobijaš:
[dispmath]f'(x)=(-1)^{n+1}\frac{(2n+1)x^{2n}}{4n^2-1}=(-1)^{n+1}\frac{x^{2n}}{2n-1}[/dispmath]
Sada je još cilj skratiti [inlmath]2n-1[/inlmath].
Izbaci ispred sume [inlmath]x[/inlmath].
Nađi samo izvod sume.
Oslobodićeš se tj. skratićeš i [inlmath]2n-1[/inlmath].
E, onda polako do kraja...
To su samo dva izvoda.

Odgovoriću i postupno, korak po korak ako to bilo koji korisnik zahteva.
Ali vas sve molim da poštujete princip ovog foruma po kome se rešenja ne daju "na tacni".
Ovde se dobija pomoć i daju se uputstva za rešavanje zadataka, neretko smo radili i cele zadatke na zahtev korisnika.
Poželjno je da se pomogne i drugima (čime dokazujete dobronamernost i volju da se pomogne ) ali to nije obaveza nijednog korisnika. To je stvar vaše dobre volje.
Ponavljam, ako iko zahteva od naših korisnika uradiću zadatak korak po korak, uz objašnjenja.
Ali nemam nikakvu povratnu reakciju, niko ne piše na ovu temu ništa

Pokusacu da odradim ovako, pa javljam sta sam uradio.
Podrzavam ovaj princip, ne davanja zadatka na tacni.
Hvala na odgovoru.

@maxaa,
pre svega thanks za tvoj post, a i za postavljen zadatak, mislim da je super i mislim i da nismo imali sličan.
Eto, prosto si me motivisao da se i ja malo "doreknem" u vezi sa zadatkom.
Red je alternativan, članovi mu naizmenično menjaju znak. To ti svakako znaš, nego ja to zbog korisnika i/ili gostiju koji to eventualno ne znaju.
Sumiranje reda kao i razvoj funkcije u stepeni red važiće samo tamo gde red konvergira i funkcija je definisana.
O ovome se strogo vodi računa, šta je "pozornica" na kojoj se sve odigrava.
Dalje:
[dispmath]S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{4n^2-1}[/dispmath][dispmath]S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n}}{2n-1}[/dispmath][dispmath]S'(x)=x\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}[/dispmath]
E sada uvodimo novu sumu, tj. posmatramo trenutno samo:
[dispmath]S_1(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}[/dispmath][dispmath]S_1'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{2n-2}[/dispmath][dispmath]S_1'(x)=-\frac{1}{x^2}\sum_{n=1}^{\infty}{\left(-x^2\right)}^n[/dispmath]
i eto geometrijskog reda
p.s. U tvojoj postavci zadatka suma ide po [inlmath]k[/inlmath] a trebalo bi po [inlmath]n[/inlmath]. Da li želiš da to ispravim?
p.p.s. Ovo nije do kraja urađen zadatak, bilo bi super da ga nastaviš.

Da da, primetio sam tu gresku za [inlmath]k[/inlmath], moze ispravka. Pokusacu:
[dispmath]S_1'(x)=-\frac{1}{x^2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(-x^2\right)^n[/dispmath]
Sredimo malo ovaj izraz:
[dispmath]S_1'(x)=-\frac{1}{x^2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(-x^2\right)^{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-x^2\right)^n=\frac{1}{1+x^2}[/dispmath]
Maklorenov razvoj na koji pokusavamo da svedemo glasi:
[dispmath]\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x},[/dispmath]
odatle resenje prethodnog izraza.
[dispmath]\Rightarrow\quad S_1(x)=\int S_1'(x)=\mathrm{arctg}\:x[/dispmath]
Dalje imamo:
[dispmath]S'(x)=x\:\mathrm{arctg}\:x\quad\Rightarrow\quad S(x)=\int S'(x)[/dispmath]
Sto se parcijalnom integracijom resi i dobije:
[dispmath]S(x)=\frac{1}{2}\left(x^2+1\right)\mathrm{arctg}\:x-\frac{1}{2}x[/dispmath]

Trebalo bi da je dobro, ako nije negde sam omasio, jer se ne snalazim bas najbolje sa Latexom, ujedno zbog toga i nije bas pregledno.

@maxaa,
baš tako.
Ljutiće se "čika Daniel" (ovako ga nazvao @bobanex ) što si citirao ceo post, nije baš u skladu s pravilnikom. Ali nema veze, možda i ne vidi Daniel .
Trebalo bi samo naglasiti da se pri svakoj integraciji dobija i konstanta (jer su neodređeni integrali) ali je svaka konstanta jednaka nuli (arkus tangens od nule je nula). Pozdrav.

Nisam ni planirao da stavim citat, koristio mi je samo da malo copy-paste-ujem, pa zaboravih da ga izbrisem posle. Moze ispravka.

Ok, urađeno .