Dobar dan svima,opet ja sa analitickom :/ i zadatak je sledeci:

Data je prava [inlmath]p:\;\frac{x-4}{2}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-3}{1}[/inlmath] i ravan [inlmath]\alpha:\;x-y+z-5=0[/inlmath] i treba odrediti neku pravu [inlmath]q[/inlmath] koja je simetricna pravoj [inlmath]p[/inlmath] u odnosu na ravan [inlmath]\alpha[/inlmath]

Odredio sam vektor pravca prave [inlmath]p[/inlmath] ([inlmath]\vec p[/inlmath]) i vektor normale ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] ([inlmath]\vec{n_\alpha}[/inlmath]).
Iz uslova normalnosti dva vektora [inlmath]\vec p\cdot\vec{n_\alpha}=0\;\Longrightarrow\;\vec p\perp\vec{n_\alpha}\;\Longrightarrow\;p\parallel\alpha[/inlmath] ,sto znaci da ce i [inlmath]q\parallel p[/inlmath]

Dalje sam pokusao da "provucem" neku ravan [inlmath]\beta[/inlmath] kroz pravu [inlmath]p[/inlmath] i koja je normalna na ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] u nameri da nadjem projekciju prave [inlmath]p[/inlmath] na ravan [inlmath]\alpha[/inlmath], da bih izracunao normalno rastojanje prave [inlmath]p[/inlmath] i njene projekcije,koje bih eventualno kasnije iskoristio ( jer je jednako rastojanju trazene prave [inlmath]q[/inlmath] od ravni).
[dispmath]\beta\perp\alpha\;\Longrightarrow\;\vec{n_\alpha}\perp\vec p[/dispmath][dispmath]\vec{n_\beta}=\vec{n_\alpha}\times\vec p=\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
1 & -1 & 1\\
2 & 1 & -1
\end{vmatrix}=3\vec j+3\vec k\;\Longrightarrow\;\beta:\:3y+3z+D=0[/dispmath]
Dalje, [inlmath]\exists M\in p,\;M(4,-4,3)\;\Longrightarrow\;3\cdot(-4)+3\cdot3+D=0\;\Longrightarrow\;D=3[/inlmath]
Tako da je jednacina ravni [inlmath]\beta:\;3y+3z+3=0[/inlmath]

proj. prave [inlmath]p:\;\begin{cases} x-y+z-5=0\\ 3y+3z+3=0\end{cases}\quad[/inlmath] , ove dve jednacine daju [inlmath]x-2y+4=0[/inlmath]

To je ono sto sam pokusao i gde sam stao.Zamolio bih da mi neko kaze ima li smisla to sto pokusavam i da li je tacno i eventualno da neku bolju (tacniju ili kako god...) ideju.
Hvala unapred!

Lazar je napisao:Data je prava [inlmath]p:\;\frac{x-4}{2}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-3}{1}[/inlmath]

Pretpostaviću da je ovde greška i da jednačina prave treba da glasi [inlmath]p:\;\frac{x-4}{2}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-3}{{\color{red}-}1}[/inlmath], jer ovako kako si napisao prava i ravan ne bi bile međusobno paralelne, a video sam da si i kasnije u postupku računao kao da se u imeniocu ispod [inlmath]z[/inlmath] nalazi taj minus.

Nepotrebno si zakomplikovao s tom ravni [inlmath]\beta[/inlmath]. Umesto toga, postaviš normalu na ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] takvu da sadrži tačku [inlmath]M[/inlmath] koja pripada pravoj [inlmath]p[/inlmath], zatim odrediš tačku preseka te normale i ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] (tu tačku preseka obeležimo sa [inlmath]O[/inlmath]), a tačku simetričnu tački [inlmath]M[/inlmath] u odnosu na ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] (obeležimo je sa [inlmath]M'[/inlmath]) odrediš iz uslova [inlmath]\overline{MO}=\overline{OM'}[/inlmath]. Budući da [inlmath]M'[/inlmath] pripada traženoj pravoj [inlmath]q[/inlmath], sada imaš sve elemente koji su ti potrebni da bi napisao jednačinu tražene prave [inlmath]q[/inlmath] – imaš, dakle tačku koja pripada traženoj pravoj [inlmath]q[/inlmath] i imaš vektor pravca tražene prave [inlmath]q[/inlmath] (isti je kao i vektor pravca prave [inlmath]p[/inlmath]).

Lazar je napisao:proj. prave [inlmath]p:\;\begin{cases} x-y+z-5=0\\ 3y+3z+3=0\end{cases}\quad[/inlmath] , ove dve jednacine daju [inlmath]x-2y+4=0[/inlmath]

Prvo, iz te dve jednačine se ne bi dobilo [inlmath]x-2y{\color{red}+4}=0[/inlmath], već [inlmath]x-2y{\color{red}-6}=0[/inlmath]. Drugo, eliminacijom promenljive [inlmath]z[/inlmath] ti si samo odredio projekciju presečne prave na [inlmath]xOy[/inlmath]-ravan. Radi određivanja jednačine presečne prave potrebno je napisati još jednu jednačinu koja bi se dobila eliminacijom neke od preostale dve promenljive. Naravno, ovo ti u ovom zadatku nije potrebno, ali čisto da znaš ako ti nekad i to bude zatrebalo.

Ako nisam nigde pogresio,resenje bi trebalo da je sledece:
[dispmath]p:\;\frac{x-4}{2}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-3}{-1}[/dispmath][dispmath]\alpha:\;x-y+z-5=0\;\Longrightarrow\;\vec{n_\alpha}=\vec i-\vec j+\vec k[/dispmath]
Iz gore navedenog sledi da je normala ( na kojoj lezi vektor normale ravni [inlmath]\vec{n_\alpha}[/inlmath]) [inlmath]n:\;\frac{x-4}{1}=\frac{y+4}{-1}=\frac{z-3}{1}[/inlmath], jer ista prolazi kroz neku tacku [inlmath]M(4,-4,3)[/inlmath] na pravoj [inlmath]p[/inlmath].

Njen parametarski oblik:
[dispmath]p:\begin{cases} x=4+t\\ y=-4-t\\ z=3+t \end{cases}\quad\forall t\in\mathbb{R}[/dispmath]
Uvrstavanjem parametarskih koordinata u jednacinu ravni,dobijamo parametar [inlmath]t[/inlmath] i samim tim koordinate presecne tacke prave [inlmath]n[/inlmath] i ravni [inlmath]\alpha[/inlmath]-tacke [inlmath]O(2,-2,1)[/inlmath]

Tacka [inlmath]M'[/inlmath] je simetricna tacki [inlmath]M[/inlmath] i nalazi se na pravoj [inlmath]q[/inlmath]. Zakljucujemo da se tacka [inlmath]O[/inlmath] nalazi na polovini duzi [inlmath]\overline{MM'}[/inlmath]. Iskoristimo navedenu cinjenicu kako bismo nasli koordinate tacke [inlmath]M'[/inlmath] i one su [inlmath]M(0,0,-1)[/inlmath]

Rezultat bi trebalo da je:

[inlmath]q:\;\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}[/inlmath] . (segmenti na [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] osi prave [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath] su jednaki jer su one paralelne)


Toliko.Hvala jos jednom na pomoci!

P.S. Nadam se da nisam pogresio negde u hodu...

Potvrđujem da je sve

Jedino mi ova rečenica nije sasvim jasna,

Lazar je napisao:[inlmath]q:\;\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}[/inlmath] . (segmenti na [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] osi prave [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath] su jednaki jer su one paralelne)

Šta tačno podrazumevaš pod segmentima na [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] osi?
Prava [inlmath]p[/inlmath] ne preseca nijednu od koordinatnih osa, a prava [inlmath]q[/inlmath] preseca samo [inlmath]z[/inlmath]-osu, tako da ne vidim kako bismo mogli govoriti o segmentima...

mislim na tzv [inlmath]a,b,c[/inlmath] odnosno ovo " ispod razlomacke crte" [inlmath](2,1,-1)[/inlmath], moguce je da sam lupio,ali se stvarno ne secam kako se to zove

Reci onda – komponente vektora pravca, i nećeš pogrešiti.

Zahvaljujem

Lazar je napisao:Tacka [inlmath]M'[/inlmath] je simetricna tacki [inlmath]M[/inlmath] i nalazi se na pravoj [inlmath]q[/inlmath]. Zakljucujemo da se tacka [inlmath]O[/inlmath] nalazi na polovini duzi [inlmath]\overline{MM'}[/inlmath]. Iskoristimo navedenu cinjenicu kako bismo nasli koordinate tacke [inlmath]M'[/inlmath] i one su [inlmath]M(0,0,-1)[/inlmath]

Kako si tačno dobio ovu tačku [inlmath]M'[/inlmath]? Koji je postupak računanja?

Pošto je [inlmath]\overline{MO}=\overline{OM'}[/inlmath] (drugim rečima, pošto se tačka [inlmath]O[/inlmath] nalazi tačno na sredini između tačaka [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]M'[/inlmath]), to znači da će svaka od koordinata tačke [inlmath]O[/inlmath] biti jednaka aritmetičkoj sredini odgovarajućih koordinata tačaka [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]M'[/inlmath]:
[dispmath]x_O=\frac{1}{2}\left(x_M+x_{M'}\right)\quad\Rightarrow\quad x_{M'}=\cdots[/dispmath]
Slično i za [inlmath]y[/inlmath]- i za [inlmath]z[/inlmath]- koordinate.

Hvalaa <3