Skoro smo dokazivali ovu nejednakost
[dispmath](1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\ge1+x_1+x_2+\cdots+x_n,\quad x_k>-1[/dispmath]
Stvar je u tome sto ne znam njeno ime. Dokaz se radi matematickom indukciom, imam par rupa u dokazu a ne mogu da to pronadjem na netu jer ne znam kako se zove ova nejednakost. Koliko sam skontao bitna je dosta jer se nadovezuje na jos neke nejednakosti.
Index stranica ‹ OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ‹ TEORIJA BROJEVA
Nejednakost (1+x1)(1+x2)...>1+x1+x2
Pregled za štampanje • Pregled za štampanje svih postova u temi • 9 Posta
• Stranica 1 od 1
Re: Nejednakost (1+x1)(1+x2)...>1+x1+x2
od Daniel » Četvrtak, 15. Oktobar 2015, 00:58
A što bi tražio na netu, kad možemo tom nejednakošću da se pozabavimo i ovde na forumu? 
Samo, nešto mi ovde ne štima, mislim da imam kontraprimer. Pretpostavimo da je:
[inlmath]n=2\\
x_1=1\\
x_2=-\frac{1}{2}[/inlmath]
(i [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] su veći od [inlmath]-1[/inlmath], čime je zadati uslov [inlmath]x_k>-1[/inlmath] zadovoljen)
Tada je
[dispmath]\left(1+x_1\right)\left(1+x_2\right)\ge1+x_1+x_2[/dispmath][dispmath]\left(1+1\right)\left[1+\left(-\frac{1}{2}\right)\right]\ge1+1+\left(-\frac{1}{2}\right)[/dispmath][dispmath]2\cdot\frac{1}{2}\ge2-\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]1\ge\frac{3}{2}[/dispmath]
Kontradikcija.
Samo, nešto mi ovde ne štima, mislim da imam kontraprimer. Pretpostavimo da je:
[inlmath]n=2\\
x_1=1\\
x_2=-\frac{1}{2}[/inlmath]
(i [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] su veći od [inlmath]-1[/inlmath], čime je zadati uslov [inlmath]x_k>-1[/inlmath] zadovoljen)
Tada je
[dispmath]\left(1+x_1\right)\left(1+x_2\right)\ge1+x_1+x_2[/dispmath][dispmath]\left(1+1\right)\left[1+\left(-\frac{1}{2}\right)\right]\ge1+1+\left(-\frac{1}{2}\right)[/dispmath][dispmath]2\cdot\frac{1}{2}\ge2-\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]1\ge\frac{3}{2}[/dispmath]
Kontradikcija.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Nejednakost (1+x1)(1+x2)...>1+x1+x2
od Gamma » Četvrtak, 15. Oktobar 2015, 01:18
Mislio sam da malo pogledam uopsteno o njoj na netu. Stvarno ne znam nista o njoj. Ali ni ta tvoja varijanta nije losa
Ovo je prof izvodio na tabli ali sve je to na brzaka radjeno naravno nisam stigao sve da uhvatim. Ima tu jos nesto [inlmath]x_k[/inlmath] mora biti istog znaka i to pise. Znam da malo komplikujem s ovim pa zato je najbolje naci sve detaljno o njoj. Ova nejednakost je radjena odmah poslije Bernulijeve moguce je da ima veze i sa njom.
Ovo je prof izvodio na tabli ali sve je to na brzaka radjeno naravno nisam stigao sve da uhvatim. Ima tu jos nesto [inlmath]x_k[/inlmath] mora biti istog znaka i to pise. Znam da malo komplikujem s ovim pa zato je najbolje naci sve detaljno o njoj. Ova nejednakost je radjena odmah poslije Bernulijeve moguce je da ima veze i sa njom.
Re: Nejednakost (1+x1)(1+x2)...>1+x1+x2
od Daniel » Četvrtak, 15. Oktobar 2015, 01:32
Gamma je napisao:Ali ni ta tvoja varijanta nije losa
Nije to moja varijanta, ja sam samo radio po onome kako si ti napisao, i uvažavajući uslove koje si ti napisao.
Ako ne znaš kako tačno glasi nejednakost i koje sve uslove treba da zadovolji, možeš li se raspitati kod svojih drugara/kolega, kako ne bismo sad ovde nagađali? Pa ćemo onda moći tom nejednakošću i da se natenane pozabavimo...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Nejednakost (1+x1)(1+x2)...>1+x1+x2
od Gamma » Četvrtak, 15. Oktobar 2015, 01:49
Vecina njih ne zna. Sjedio sam u prvom redu u amfiteatru i stigao sam nesto napisati. Stvarno je profesor zurio zavrsio je sve 20 min prije kraja. Dok ovi sto su dalje sjedili nista nisu stigli. Ok, ako ne mognem dobiti tu informaciju pitacu profesora. Ali u svakom slucaju Hvala !
Re: Nejednakost (1+x1)(1+x2)...>1+x1+x2
od desideri » Četvrtak, 15. Oktobar 2015, 15:50
@Gamma,
ti imaš preko [inlmath]1000[/inlmath] postova na Matemaniji.
Meni stvarno nije jasno šta ti bunariš po netu.
Kada imaš sve nas.
Zašto jednostavno nisi napisao sve uslove u prvom postu?
Razlika je kao nebo i zemlja da li su brojevi istog znaka ili nisu
ti imaš preko [inlmath]1000[/inlmath] postova na Matemaniji.
Meni stvarno nije jasno šta ti bunariš po netu.
Kada imaš sve nas.
Zašto jednostavno nisi napisao sve uslove u prvom postu?
Razlika je kao nebo i zemlja da li su brojevi istog znaka ili nisu
Re: Nejednakost (1+x1)(1+x2)...>1+x1+x2
od Onomatopeja » Četvrtak, 15. Oktobar 2015, 16:20
Tvrdjenje. Neka su [inlmath]x_i,\;i=1,2,\ldots,n[/inlmath], realni brojevi istog znaka, veci (strogo) od [inlmath]-1[/inlmath]. Tada vazi
[dispmath](1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\geq1+x_1+x_2+\cdots+x_n.[/dispmath]
Dokaz. Baza indukcije je jasna, zato, pretpostavimo da tvrdjenje vazi za [inlmath]n=k[/inlmath], odnosno, da za proizvoljne realne brojeve [inlmath]x_i>-1,\;i=1,2,\ldots,k[/inlmath], koji su istog znaka, vazi [inlmath](1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_k)\geq1+x_1+x_2+\cdots+x_k[/inlmath], i pokazimo da tvrdjenje vazi za [inlmath]n=k+1[/inlmath]. Naime, kako su [inlmath]x_1,x_2,\ldots,x_{k+1}[/inlmath] istog znaka, to je [inlmath](x_1+x_2+\cdots+x_k)x_{k+1}\geq0[/inlmath], te imamo
[dispmath]\begin{align}(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_{k+1})&\geq(1+x_1+x_2+\cdots+x_k)(1+x_{k+1})\\
&=1+x_1+x_2+\cdots+x_k+x_{k+1}+(x_1+x_2+\cdots+x_k)x_{k+1}\\
&\geq1+x_1+x_2+\cdots+x_{k+1}.
\end{align}[/dispmath]
sto je i trebalo pokazati.
Posledica (Bernulijeva nejednakost). Neka je [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] i [inlmath]x>-1[/inlmath]. Tada vazi [inlmath](1+x)^n\geq1+nx[/inlmath].
[dispmath](1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\geq1+x_1+x_2+\cdots+x_n.[/dispmath]
Dokaz. Baza indukcije je jasna, zato, pretpostavimo da tvrdjenje vazi za [inlmath]n=k[/inlmath], odnosno, da za proizvoljne realne brojeve [inlmath]x_i>-1,\;i=1,2,\ldots,k[/inlmath], koji su istog znaka, vazi [inlmath](1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_k)\geq1+x_1+x_2+\cdots+x_k[/inlmath], i pokazimo da tvrdjenje vazi za [inlmath]n=k+1[/inlmath]. Naime, kako su [inlmath]x_1,x_2,\ldots,x_{k+1}[/inlmath] istog znaka, to je [inlmath](x_1+x_2+\cdots+x_k)x_{k+1}\geq0[/inlmath], te imamo
[dispmath]\begin{align}(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_{k+1})&\geq(1+x_1+x_2+\cdots+x_k)(1+x_{k+1})\\
&=1+x_1+x_2+\cdots+x_k+x_{k+1}+(x_1+x_2+\cdots+x_k)x_{k+1}\\
&\geq1+x_1+x_2+\cdots+x_{k+1}.
\end{align}[/dispmath]
sto je i trebalo pokazati.
Posledica (Bernulijeva nejednakost). Neka je [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] i [inlmath]x>-1[/inlmath]. Tada vazi [inlmath](1+x)^n\geq1+nx[/inlmath].
Re: Nejednakost (1+x1)(1+x2)...>1+x1+x2
od Gamma » Četvrtak, 15. Oktobar 2015, 20:17
Svaka cast Onomatopeja 
Re: Nejednakost (1+x1)(1+x2)...>1+x1+x2
od desideri » Petak, 16. Oktobar 2015, 00:33
Ne bih da ulazim u offtopic, što reče Daniel svojevremeno, no ovo moram da vam kažem:
Bernuli (Bernoulli) nije bio samo jedan, ima ih trojica:
Po mom mišljenju, najviše traga je u nauci od ove trojice ostavio Daniel
Bernuli (Bernoulli) nije bio samo jedan, ima ih trojica:
- Johann Bernoulli
- Daniel Bernoulli (nije naš Daniel )
- Jacob Bernoulli
Po mom mišljenju, najviše traga je u nauci od ove trojice ostavio Daniel
9 Posta
• Stranica 1 od 1
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju