Izracunavanje integrala

od **Lazar** » Nedelja, 06. Mart 2016, 17:32

Pozdrav,

Moj problem se sastoji u tome sto nisam siguran na koji nacin treba resiti sledeci integral:
[dispmath]\int e^{\text{arcctg }x}x\left(x^2+1\right)^\frac{-3}{2}\mathrm dx[/dispmath]
Uveo sam smenu da je [inlmath]\text{arcctg }x=t[/inlmath] (jer tako nalaze tekst zadatka) i dobio [inlmath]\int\text{ctg}(t)\cdot e^t\cdot\left(\text{ctg}^2(t)+1\right)^\frac{-3}{2}\cdot\frac{-1}{\sin^2(t)}\,\mathrm dt[/inlmath] i ne znam dalje koje smene da uvodim.
Bio bih zahvalan na maloj pomoci

od **desideri** » Nedelja, 06. Mart 2016, 19:24

Napišem postavku zadatka malo modifikovanu i primenim predloženu smenu (uzgred budi rečeno, idealnu kada je gore arkus (ko)tangens i dole izvod arkus (ko)tangensa):
[dispmath]\int\frac{xe^{\text{arcctg }x}}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\,\mathrm dx=-\int\frac{\text{ctg }t\cdot e^t}{\sqrt{\text{ctg}^2(t)+1}}\,\mathrm dt[/dispmath]
Hajde sada probaj, potrebno je par trigonometrijskih transformacija, laganih.
Ako bude dalje problema, uradićemo ga do kraja.

od **Lazar** » Nedelja, 06. Mart 2016, 19:45

Sada cu pokusati,ako uradim saljem resenje.Hvala

od **Lazar** » Nedelja, 06. Mart 2016, 19:52

Samo...izraz pod korenom ide na 3 stepen.

od **desideri** » Nedelja, 06. Mart 2016, 20:04

Izvod ti "pokupi" [inlmath]\left(1+x^2\right)[/inlmath] tako da ostane stepen [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] tj samo koren. Prilikom smene.
Dalje, nejasana ti je bila postavka jer fali argument kotangensa. Pa ja nisam znao da li [inlmath]x[/inlmath] figuriše u brojiocu.
Ako je takva postavka, tj bez [inlmath]x[/inlmath] u brojiocu onda je naravno skoro isto:
[dispmath]\int\frac{e^{\text{arcctg }x}}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\,\mathrm dx=-\int\frac{e^t}{\sqrt{\text{ctg}^2(t)+1}}\,\mathrm dt[/dispmath]
Pa se ovo svodi posle laganog sređivanja kotangensa na školsku parcijalnu integraciju.

od **Lazar** » Nedelja, 06. Mart 2016, 20:11

Ja sam pogresio kada sam pisao, [inlmath]x[/inlmath] je i u argumentu [inlmath]\text{arcctg}[/inlmath] i ispred zagrade.Izvinjavam se,promaklo je

od **Lazar** » Nedelja, 06. Mart 2016, 20:22

[inlmath]\displaystyle\text{ctg}(t)=\frac{\cos(t)}{\sin(t)}[/inlmath] - koristimo da sredimo izraz
Dobije se: [inlmath]\displaystyle-\int\cos(t)\cdot e^t\,\mathrm dt[/inlmath] i ovaj integral obelezimo sa [inlmath]I[/inlmath].
Parcijalnom integracijom dolazimo do izraza [inlmath]\displaystyle-\left(e^t\cdot\cos(t)+e^t\cdot\sin(t)-\int e^t\cdot\cos(t)\,\mathrm dt\right)[/inlmath] i primecujemo da smo ponovo dobili nas integral [inlmath]I[/inlmath].
Resavamo izjednacavanjem [inlmath]I=-e^t\cdot\cos(t)-e^t\cdot\sin(t)-I[/inlmath]. I prebacimo na levu stranu,vratimo smenu i trebalo bi da bude dobro

od **Daniel** » Ponedeljak, 07. Mart 2016, 02:37

To je to.

od **Lazar** » Ponedeljak, 07. Mart 2016, 10:54

Hvala na pomoci

od **Onomatopeja** » Ponedeljak, 07. Mart 2016, 12:46

Smatram da je ovde izostavljena jedna bitna stvar. Naime, kod sredjivanja izraza posle smene u jednom trenutku iskoci [inlmath]\sqrt{\sin^2t}[/inlmath], sto je ovde poistoveceno sa [inlmath]\sin t[/inlmath] (no, znamo da je [inlmath]\sqrt{\sin^2t}=|\sin t|[/inlmath]). Ipak, mi smo ovde smeli da kazemo da je [inlmath]|\sin t|=\sin t[/inlmath] jer [inlmath]\text{arcctg }x\in(0,\pi)[/inlmath], tj. [inlmath]t\in(0,\pi)[/inlmath], pa vazi prethodna jednakost.

Izracunavanje integrala

Izracunavanje integrala

Sharuj ovu temu na:

Re: Izracunavanje integrala

Re: Izracunavanje integrala

Re: Izracunavanje integrala

Re: Izracunavanje integrala

Re: Izracunavanje integrala

Re: Izracunavanje integrala

Re: Izracunavanje integrala

Re: Izracunavanje integrala

Re: Izracunavanje integrala

Ko je OnLine