Naravno, pretpostavljam da je ovo samo greška u kucanju,

Batonja je napisao:[dispmath]3\cdot\ln|x+{\color{red}2}|-2\cdot\ln|x+{\color{red}3}|+c[/dispmath]

i da zapravo treba da bude [inlmath]3\cdot\ln|x+{\color{green}3}|-2\cdot\ln|x+{\color{green}2}|+c[/inlmath], što direktno i sledi iz zbira integrala koji si dobio, [inlmath]-2\int\frac{1}{x+2}\,\mathrm dx+3\int\frac{1}{x+3}\,\mathrm dx[/inlmath].

Zahvaljujem na odgovorima,imam jos jedan integral koji ne mogu da uradim tacno:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-4}}[/dispmath]
probao sam ga preko metode neodredjenih koeficijenata nije islo,onda sam probao da ga rastavim ovako
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x\cdot\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}[/dispmath][dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x}+\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}[/dispmath][dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x}+\int\frac{\mathrm dx}{\frac{1}{x}\sqrt{x^2-4}}[/dispmath][dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x}+\int\frac{x\mathrm dx}{\sqrt{x^2-4}}[/dispmath][dispmath]t=x^2-4[/dispmath][dispmath]\mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{2x}[/dispmath][dispmath]\ln x+\int\frac{x\frac{\mathrm dt}{2x}}{\sqrt t}[/dispmath]
[inlmath]x[/inlmath]-evi se krate, [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] ne mari za integral pa izlazi ispred
[dispmath]\ln x+\frac{1}{2}\cdot\ln{\sqrt{x^2-4}}[/dispmath]
po zbirci:
[dispmath]\ln\left(x+\sqrt{x^2-4}\right)[/dispmath]
Hvala na utrosenom vremenu

Batonja je napisao:probao sam ga preko metode neodredjenih koeficijenata nije islo,onda sam probao da ga rastavim ovako
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x\cdot\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}[/dispmath][dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x}+\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}[/dispmath]

Kakvo je ovo rastavljanje?

Rastavljanje imenioca izgleda . Uvideo gresku zahvaljujem . Videcu da probam jos koji put da ga uradim stim da pazim na algebarske operacije .

Posle ponovnog pokusaja da resim ovaj integral dosao sam na ideju kako bi to trebalo da izgleda
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{(x-2)\cdot(x+2)}}[/dispmath][dispmath]\int\frac{\frac{1}{\sqrt{(x+2)}}}{\sqrt{(x-2)}}\,\mathrm dx+\int\frac{\frac{1}{\sqrt{(x-2)}}}{\sqrt{(x+2)}}\,\mathrm dx[/dispmath]
Ali mi se sad ne da da uvedem substituciju nikako, probao sam da uzmem celu potkorenu velicinu u imeniocu ali nikako ne uspevam onda da izgubim ovu drugu potkorenu velicinu u brojiocu, Zavhaljujem na utrosenom vremenu

To rastavljanje nije dobro (jer nemas u brojiocu [inlmath]2[/inlmath], a i pitanje domena same funkcije se menja), a i ne vidim kako bi nam pomoglo (i sam si to primetio).

Umesto toga, pokusaj smenom [inlmath]\displaystyle x=\frac{2}{\cos t}[/inlmath] (i opstije, da si imao [inlmath]x^2-a^2[/inlmath] pod korenom onda bi uzeo [inlmath]\displaystyle x=\frac{a}{\cos t}[/inlmath]). Alternativno, mogao bi da pokusas i smenom [inlmath]x=2\,\text{ch }t[/inlmath] (jasno je sta bi stavio u opstem slucaju).

[dispmath]\int\frac{1}{\sqrt{x^2-4}}\,\mathrm dx=\int\frac{1}{\sqrt{4\left(\left(\frac{x}{2}\right)^2-1\right)}}\,\mathrm dx=\Bigg(\text{smjena: }\frac{x}{2}=t\Bigg)[/dispmath][dispmath]\int\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}\,\mathrm dt=\Bigg(\text{smjena: }\sqrt{t^2-1}=z-t;\\
z=\sqrt{t^2-1}+t;\\
\mathrm dz=\frac{t+\sqrt{t^2-1}}{\sqrt{t^2-1}}\,\mathrm dt=\frac{z}{\sqrt{t^2-1}}\,\mathrm dt\\
\frac{\mathrm dz}{z}=\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}\,\mathrm dt\Bigg)[/dispmath][dispmath]\int\frac{\mathrm dz}{z}=[/dispmath]
(tablični integral, vratis smjene i to je to)


PS. Da li je moguće kako u Wolfram Mathematica programu ovo otkucati pa prebaciti u Latex ?

Zahvaljujem na objasnjenju "xyz" ako bi mogao samo malo da mi pojasnis oko ove druge smene kako znas da treba da uvedes za smenu [inlmath]z-t[/inlmath] umesto samog [inlmath]z[/inlmath] kako da znam kad uvodim ovakvu smenu?

xyz je napisao:[dispmath]\text{smjena: }\sqrt{t^2-1}=z-t;\\
z=\sqrt{t^2-1}+t;[/dispmath]

Zašto se ovde komplikuje?
Po Demidoviču, po Ljašku, po Merkleu i Šamiju i po još bar hiljadu autora ovo je tablični integral:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+c[/dispmath]

I mi smo integral
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2\pm1}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm1}\right|+C[/dispmath]
računali kao tablični, a može se i dokazati na način koji sam gore naveo.

Što se tiče pitanja koju smjenu odabrati, po meni je to stvar intuicije i vježbe .