Neka je [inlmath]CD[/inlmath] tezisna duz trougla [inlmath]ABC[/inlmath] i neka je [inlmath]BC=12,\;AC=20,\;CD=2\sqrt{19}[/inlmath]. Povrsina trougla [inlmath]ABC[/inlmath] je?

U resenju zadatka je pomenuta neka centralno simetricna tacka tacki [inlmath]C[/inlmath] u odnosu na [inlmath]D[/inlmath] i dalje radjeno nesto preko Heronovog obrasca. Pomoglo bi mi neko 'normalnije' objasnjenje

OK, imamo dat taj trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] (na slici crnom bojom) i konstruišemo tačku [inlmath]C'[/inlmath] simetričnu tački [inlmath]C[/inlmath] u odnosu na tačku [inlmath]D[/inlmath] (na slici plavom bojom). I, dobili smo nešto vrlo, vrlo lepo:


Dobili smo paralelogram [inlmath]AC'BC[/inlmath], sa dijagonalama [inlmath]\overline{AB}[/inlmath] i [inlmath]\overline{CC'}[/inlmath], a znamo da kod paralelograma svaka dijagonala deli taj paralelogram na dva podudarna trougla. To znači, da je površina trougla [inlmath]\triangle BCC'[/inlmath] (koju preko Heronovog obrasca možemo izračunati jer znamo dužine svih njegovih stranica) jednaka polovini površine paralelograma. A površina trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], koju tražimo, takođe je jednaka površini paralelograma. Prema tome, [inlmath]P_{\triangle{BCC'}}=P_{\triangle{ABC}}[/inlmath]. Nađemo, dakle, površinu trougla [inlmath]\triangle BCC'[/inlmath] preko Heronovog obrasca i to će istovremeno biti i površina našeg trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath].

Ili, ako je baš potrebno sve striktno dokazivati, ne pozivajući se na osobine paralelograma, može i tako:
Pošto smo konstruisali tačku [inlmath]C'[/inlmath] kao tačku simetričnu tački [inlmath]C[/inlmath] u odnosu na tačku [inlmath]D[/inlmath], znamo da je [inlmath]\overline{CD}=\overline{C'D}[/inlmath]. Pošto se tačka [inlmath]D[/inlmath] nalazi na središtu stranice [inlmath]\overline{AB}[/inlmath], znamo i da je [inlmath]\overline{AD}=\overline{BD}[/inlmath]. Takođe, uglovi [inlmath]\angle ADC'[/inlmath] i [inlmath]\angle BDC[/inlmath] su jednaki, pošto su to unakrsni uglovi.
Na osnovu SUS, zaključujemo da su trouglovi [inlmath]\triangle ADC'[/inlmath] i [inlmath]\triangle BDC[/inlmath] podudarni.
Površina traženog trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] jednaka je zbiru površina trouglova [inlmath]\triangle ADC[/inlmath] i [inlmath]\triangle BDC[/inlmath]:[dispmath]P_{\triangle ABC}=P_{\triangle ADC}+P_{\triangle BDC}[/dispmath]A pošto je[dispmath]P_{\triangle BDC}=P_{\triangle ADC'}[/dispmath]tada je[dispmath]P_{\triangle ABC}=P_{\triangle ADC}+P_{\triangle ADC'}[/dispmath]to jest[dispmath]P_{\triangle ABC}=P_{\triangle ACC'}[/dispmath]Sve stranice trougla [inlmath]\triangle ACC'[/inlmath] su nam poznate ([inlmath]20[/inlmath], [inlmath]12[/inlmath] i [inlmath]4\sqrt{19}[/inlmath]), tako da primenjujemo Heronov obrazac radi izračunavanja njegove površine.

Meni ispadne [inlmath]P_{\triangle ABC}=60\sqrt 3[/inlmath].

Ne znam da li je zbog doba dana, ali ja nikako ne mogu da ukapiram kako dva trougla [inlmath]ABC[/inlmath] i [inlmath]BCC'[/inlmath] imaju 2 stranice iste, a treca se razlikuje(dijagonale paralelograma), a opet imaju iste povrsine? Razumem kako to sledi iz osobina paralelograma, ali ne ulazi mi u glavu ovako

Misliš, zbog doba noći? Mada, i noć spada u dan ako se misli na dan u širem smislu a ne na obdanicu. Al' dobro, da ne filozofiram previše, što se ova dva trougla tiče, obrati pažnju na to da su im osnovice [inlmath]\overline{BC}[/inlmath] jednake, a jednake su im i visine na tu osnovicu. Sasvim dovoljan uslov da im površine budu jednake, budući da je površina trougla data izrazom[dispmath]P_\triangle=\frac{a\cdot h_a}{2}[/dispmath]Znači, onu treću tačku koja ne pripada osnovici (u ovom slučaju tačku [inlmath]A[/inlmath]) možemo kol'ko hoćemo da „šetamo“ po pravcu paralelnom osnovici, površina tog trougla se neće menjati.

Ma jutro ce jos malo

Aha, da, da, razumem ovo setanje