Ako može mala pomoć oko zadatka

Dato je trinaest cjelobrojnih tačaka u ravni. Dokazati da neke tri formiraju trougao sa cjelobrojnim težištem.

Koordinate težišta su [inlmath]T(x_T,y_T)=T\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)[/inlmath]. Kako imamo trinaest brojeva, u najgorem slučaju imaćemo pet brojeva u jednoj klasi po modulu [inlmath]3[/inlmath]. Sada razmatramo ovaj najgori slučaj od pet brojeva (koordinata [inlmath]x[/inlmath] na primjer) u istoj klasi. Možemo izabrati tri koje zadovoljavaju uslov za koordinatu [inlmath]x_T[/inlmath]. Pri razmatranju [inlmath]y[/inlmath] koordinata tih tačaka nastaju problemi. Nikako ne mogu da izvučem dokaz do kraja.

Da bi završila ovako kako si krenula, potrebno je da primetiš da sabiranjem dva broja iz klase [inlmath]1[/inlmath] i iz klase [inlmath]2[/inlmath] dobijaš broj iz klase [inlmath]0[/inlmath].
Sada posmatraj različite slučajeve skupa od tih pet [inlmath]y[/inlmath] koordinata u zavisnosti od broja elemenata koji su u klasi [inlmath]0[/inlmath] (šta se dešava ako imaš pet, četiri, tri, dve ili jednu [inlmath]y[/inlmath] koordinatu kongruentnu sa [inlmath]0[/inlmath]).

Zadatak mi se dojmi prilično interesantnim, ali je vrlo nejasno formulisan.
Pretpostavljam da pojam celobrojna tačka predstavlja tačku čija su i [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-koordinata celi brojevi? Mada bi onda trebalo to tako i naglasiti u tekstu.
Drugo, šta ako je svih [inlmath]13[/inlmath] tačaka na jednoj pravoj liniji? Kako ćemo od njih formirati bilo kakav trougao, a ne trougao s celobrojnim težištem? Postoji li u zadatku neki uslov međusobne nekolinearnosti ovih tačaka, ili se pod trouglom može smatratri i trougao „nulte površine“, čija su temena kolinearne tačke?
Ako može prvo razjašnjenje ovih pitanja, pa da vidimo dalje...

Da, koordinate težišta [inlmath]T(x_T,y_T)[/inlmath] treba da su cijeli brojevi. Ovo je zadatak sa ispita, i profesor je napomenuo da su tačke nekolinearne, izvinite zaboravih napisati
A šta bi se desilo kada bismo posmatrali i taj slučaj kada su tačke kolinearne? Da li uopšte možemo tada odrediti težište?

Aha, mislim da zna sada, samo trebam lijepo ispisati slučajeve, hvala puno @ubavic

mala_mu je napisao:Da, koordinate težišta [inlmath]T(x_T,y_T)[/inlmath] treba da su cijeli brojevi. Ovo je zadatak sa ispita, i profesor je napomenuo da su tačke nekolinearne, izvinite zaboravih napisati

E pa, upravo zbog takvih nejasnoća se u matematici i insistira na precizno formulisanim tekstovima zadataka, a to nalaže i tačka 11. našeg forumskog Pravilnika. Uvek treba da napišeš tačno onakav tekst zadatka kako on glasi, do poslednjeg zareza.

mala_mu je napisao:A šta bi se desilo kada bismo posmatrali i taj slučaj kada su tačke kolinearne? Da li uopšte možemo tada odrediti težište?

U svom prethodnom postu upravo i napisah šta bi se desilo kad bi tačke bile kolinearne.

---

Pokazao bih i svoj način za rešavanje ovog zadatka. @ubavic, ovu tvoju rečenicu

ubavic je napisao:Sada posmatraj različite slučajeve skupa od tih pet [inlmath]y[/inlmath] koordinata u zavisnosti od broja elemenata koji su u klasi [inlmath]0[/inlmath] (šta se dešava ako imaš pet, četiri, tri, dve ili jednu [inlmath]y[/inlmath] koordinatu kongruentnu sa [inlmath]0[/inlmath]).

nisam baš uspeo da pohvatam, tako da ti se izvinjavam ako ova ideja koju ja budem izložio predstavlja zapravo ono na šta si i ti mislio.

(Radi kraćeg pisanja, gde god budem koristio pojam tačka, misliću zapravo na tačku s celobrojnim koordinatama, kako je tekstom zadatka i rečeno.)
@mala_mu, ispravno si zaključila da među datih [inlmath]13[/inlmath] tačaka mora biti bar [inlmath]5[/inlmath] njih čije [inlmath]x[/inlmath]-koordinate pripadaju istoj klasi po modulu [inlmath]3[/inlmath] – što znači da, bilo koje [inlmath]3[/inlmath] od tih [inlmath]5[/inlmath] tačaka da uzmemo, dobićemo trougao čije težište ima celobrojnu [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu.

Postavimo sada pitanje koliko nam je najmanje tačaka potrebno da bismo među njima sigurno imali takvu trojku tačaka koja bi formirala trougao s celobrojnom [inlmath]y[/inlmath]-koordinatom težišta. Znači, potrebno je da zbir [inlmath]y[/inlmath]-koordinata tih odabranih triju tačaka bude kongruentan sa [inlmath]0[/inlmath].
Ako bismo imali na raspolaganju [inlmath]4[/inlmath] tačke, najnepovoljniji slučaj bi bio da [inlmath]y[/inlmath]-koordinate dve tačke pripadaju jednoj klasi, a da [inlmath]y[/inlmath]-koordinate druge dve tačke pripadaju drugoj klasi. Na primer:

• [inlmath]y[/inlmath]-koordinata tačke [inlmath]1[/inlmath] – klasa [inlmath]0[/inlmath]
• [inlmath]y[/inlmath]-koordinata tačke [inlmath]2[/inlmath] – klasa [inlmath]0[/inlmath]
• [inlmath]y[/inlmath]-koordinata tačke [inlmath]3[/inlmath] – klasa [inlmath]1[/inlmath]
• [inlmath]y[/inlmath]-koordinata tačke [inlmath]4[/inlmath] – klasa [inlmath]1[/inlmath]

Naravno, među ove [inlmath]4[/inlmath] tačke, pošto je ovo najnepovoljniji slučaj, ne možemo naći nikoje [inlmath]3[/inlmath] čiji bi zbir [inlmath]y[/inlmath]-koordinata pripadao klasi [inlmath]0[/inlmath].
Međutim, ako bismo sad dodali petu tačku, tada bismo sigurno imali takve [inlmath]3[/inlmath] tačke čiji bi zbir [inlmath]y[/inlmath]-koordinata pripadao klasi [inlmath]0[/inlmath].
[inlmath]y[/inlmath]-koordinata te pete tačke može pripadati klasi [inlmath]0[/inlmath], klasi [inlmath]1[/inlmath] ili klasi [inlmath]2[/inlmath].

• Ako bi [inlmath]y[/inlmath]-koordinata te pete tačke pripadala klasi [inlmath]0[/inlmath], tada ćemo među tih [inlmath]5[/inlmath] tačaka imati njih [inlmath]3[/inlmath] čija [inlmath]y[/inlmath]-koordinata pripada klasi [inlmath]0[/inlmath], pa bi zbir tih [inlmath]y[/inlmath]-koordinata takođe pripadao klasi [inlmath]0[/inlmath];
• Ako bi [inlmath]y[/inlmath]-koordinata te pete tačke pripadala klasi [inlmath]1[/inlmath], tada ćemo među tih [inlmath]5[/inlmath] tačaka imati njih [inlmath]3[/inlmath] čija [inlmath]y[/inlmath]-koordinata pripada klasi [inlmath]1[/inlmath], pa bi zbir tih [inlmath]y[/inlmath]-koordinata pripadao klasi [inlmath]0[/inlmath];
• Ako bi [inlmath]y[/inlmath]-koordinata te pete tačke pripadala klasi [inlmath]2[/inlmath], tada ćemo među tih [inlmath]5[/inlmath] tačaka imati njih [inlmath]3[/inlmath] čije [inlmath]y[/inlmath]-koordinate pripadaju različitim klasama (klasi [inlmath]0[/inlmath], klasi [inlmath]1[/inlmath] i klasi [inlmath]2[/inlmath]), pa bi zbir takvih [inlmath]y[/inlmath]-koordinata pripadao klasi [inlmath]0[/inlmath] (kao što je ubavic i napomenuo).

Prema tome, zaključujemo – ako imamo bar [inlmath]5[/inlmath] tačaka, među njima će se sigurno nalaziti takve [inlmath]3[/inlmath] tačke koje će formirati trougao s celobrojnom [inlmath]y[/inlmath]-koordinatom težišta.

A pošto smo već zaključili da ćemo među datih [inlmath]13[/inlmath] tačaka sigurno imati [inlmath]5[/inlmath] tačaka od kojih bilo koje [inlmath]3[/inlmath] formiraju trougao s celobrojnom [inlmath]x[/inlmath]-koordinatom težišta – zaključujemo da će se među tih [inlmath]5[/inlmath] tačaka sigurno nalaziti i takve [inlmath]3[/inlmath] tačke koje će formirati trougao kod kojeg su obe koordinate težišta celi brojevi.

---

Možda sve ovo bude jasnije na jednom konkretnom primeru.
Pretpostavimo da imamo sledećih [inlmath]13[/inlmath] tačaka (proverio sam softverski, nikoje [inlmath]3[/inlmath] nisu kolinearne ):
[inlmath]M_1(1,3)\\
M_2(2,1)\\
M_3(2,5)\\
M_4(3,2)\\
M_5(3,3)\\
M_6(4,2)\\
M_7(4,6)\\
M_8(5,6)\\
M_9(5,8)\\
M_{10}(6,1)\\
M_{11}(6,4)\\
M_{12}(7,8)\\
M_{13}(8,5)[/inlmath]
Posmatramo prvo [inlmath]x[/inlmath]-koordinate.
[inlmath]4[/inlmath] [inlmath]x[/inlmath]-koordinate pripadaju klasi [inlmath]0[/inlmath] (tačke [inlmath]M_4[/inlmath], [inlmath]M_5[/inlmath], [inlmath]M_{10}[/inlmath] i [inlmath]M_{11}[/inlmath]);
[inlmath]4[/inlmath] [inlmath]x[/inlmath]-koordinate pripadaju klasi [inlmath]1[/inlmath] (tačke [inlmath]M_1[/inlmath], [inlmath]M_6[/inlmath], [inlmath]M_7[/inlmath] i [inlmath]M_{12}[/inlmath]);
[inlmath]5[/inlmath] [inlmath]x[/inlmath]-koordinata pripada klasi [inlmath]2[/inlmath] (tačke [inlmath]M_2[/inlmath], [inlmath]M_3[/inlmath], [inlmath]M_8[/inlmath], [inlmath]M_9[/inlmath] i [inlmath]M_{13}[/inlmath]).

Posmatramo, znači, tačke čije [inlmath]x[/inlmath]-koordinate pripadaju klasi [inlmath]2[/inlmath] (pošto takvih tačaka ima [inlmath]5[/inlmath]):
[inlmath]M_2(2,1)[/inlmath] – [inlmath]y[/inlmath]-koordinata pripada klasi [inlmath]1[/inlmath];
[inlmath]M_3(2,5)[/inlmath] – [inlmath]y[/inlmath]-koordinata pripada klasi [inlmath]2[/inlmath];
[inlmath]M_8(5,6)[/inlmath] – [inlmath]y[/inlmath]-koordinata pripada klasi [inlmath]0[/inlmath];
[inlmath]M_9(5,8)[/inlmath] – [inlmath]y[/inlmath]-koordinata pripada klasi [inlmath]2[/inlmath];
[inlmath]M_{13}(8,5)[/inlmath] – [inlmath]y[/inlmath]-koordinata pripada klasi [inlmath]2[/inlmath].
Uočavamo trojku tačaka čije [inlmath]y[/inlmath]-koordinate pripadaju istoj klasi – to je u ovom slučaju klasa [inlmath]2[/inlmath], a uočene tačke su [inlmath]M_3[/inlmath], [inlmath]M_9[/inlmath] i [inlmath]M_{13}[/inlmath].

I to su upravo one [inlmath]3[/inlmath] tačke koje će formirati trougao čije težište ima obe celobrojne koordinate.

Provera:
[inlmath]M_3(2,5)\\
M_9(5,8)\\
M_{13}(8,5)[/inlmath]
[dispmath]x_T=\frac{2+5+8}{3}=5\qquad y_T=\frac{5+8+5}{3}=6[/dispmath]
Takođe smo mogli prilikom posmatranja [inlmath]y[/inlmath]-koordinata tačaka, umesto da biramo tačke čije [inlmath]y[/inlmath]-koordinate pripadaju istoj klasi, da odaberemo one tri tačke čije [inlmath]y[/inlmath]-koordinate pripadaju trima različitim klasama, jer bi tada takođe zbir njihovih [inlmath]y[/inlmath]-koordinata pripadao klasi [inlmath]0[/inlmath] – tu su trojke [inlmath](M_2,M_3,M_8)[/inlmath], [inlmath](M_2,M_8,M_9)[/inlmath] i [inlmath](M_2,M_8,M_{13})[/inlmath].