Zadatak glasi:
Funkcija [inlmath]f\colon\mathbb{R^2}\to\mathbb{R^2}[/inlmath] je definisana sa
[dispmath]f(x,y)=(3x-y,\;x-5y)[/dispmath]
Ispitati da li je bijekcija.
Nije mi jasno kako da ispitam da li je injekcija.
Ako stavim da [inlmath](x,y),(a,b)\in\mathbb{R^2}[/inlmath] mora vaziti [inlmath]f(x,y)=f(a,b)[/inlmath]
Odnosno [inlmath](3x-y,\;x-5y)=(3a-b,\;a-5b)[/inlmath]
tj. [inlmath]3x-y=3a-b[/inlmath] i [inlmath]x-5y=a-5b[/inlmath]
Ali imam 4 nepoznate a 2 jednacine...
Index stranica ‹ MATEMATIČKA ANALIZA ‹ FUNKCIJE
Da li je funkcija bijekcija
Pregled za štampanje • Pregled za štampanje svih postova u temi • 8 Posta
• Stranica 1 od 1
Re: Da li je funkcija bijekcija
od mala_mu » Nedelja, 27. Novembar 2016, 23:08
Možeš pomnožiti drugu jednačinu sa [inlmath]3[/inlmath], i onda oduzeti jednu od druge.
Ostaće ti na kraju [inlmath]14y=14b[/inlmath], pa poslije skraćivanja sa [inlmath]14[/inlmath], dobijaš da je [inlmath]y=b[/inlmath].
Kada to vratiš u jednu od jednačina dobićeš da je [inlmath]x=a[/inlmath]
[dispmath]\Longrightarrow\quad(x,y)=(a,b)[/dispmath]
Odnosno funkcija [inlmath]f[/inlmath] je injekcija
Ostaće ti na kraju [inlmath]14y=14b[/inlmath], pa poslije skraćivanja sa [inlmath]14[/inlmath], dobijaš da je [inlmath]y=b[/inlmath].
Kada to vratiš u jednu od jednačina dobićeš da je [inlmath]x=a[/inlmath]
[dispmath]\Longrightarrow\quad(x,y)=(a,b)[/dispmath]
Odnosno funkcija [inlmath]f[/inlmath] je injekcija
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Re: Da li je funkcija bijekcija
od ss_123 » Nedelja, 27. Novembar 2016, 23:38
A kako bi isla sirjekcija? Malo me zbunjuje jer sam navikao raditi sa tackama na pravoj a ovo su uredjeni parovi (tacke) u ravni
Re: Da li je funkcija bijekcija
od mala_mu » Ponedeljak, 28. Novembar 2016, 00:04
Neka je [inlmath](x',y')\in\mathbb{R}^2[/inlmath]
Da li postoji [inlmath](x,y)\in\mathbb{R}^2[/inlmath], tako da [inlmath]f(x,y)=(x',y')[/inlmath]?
[dispmath](3x-y,\;x-5y)=(x',y')\\
3x-y=x'\\
x-5y=y'\\[/dispmath]
Ako pomnožiš drugu jednačinu sa [inlmath]3[/inlmath], i zatim ih oduzmeš, dobićeš [inlmath]y=\frac{1}{14}x'-\frac{3}{14}y'[/inlmath]
Sada možeš pomnožiti prvu jednačinu sa [inlmath]5[/inlmath], i oduzeti ih, dobije se da je [inlmath]x=\frac{5}{14}x'-\frac{1}{14}y'[/inlmath]
Dakle, funkcija [inlmath]f[/inlmath] je sirjekcija
Pošto je [inlmath]f[/inlmath] bijekcija za vježbu odredi inverznu funkciju funkcije [inlmath]f[/inlmath]
Da li postoji [inlmath](x,y)\in\mathbb{R}^2[/inlmath], tako da [inlmath]f(x,y)=(x',y')[/inlmath]?
[dispmath](3x-y,\;x-5y)=(x',y')\\
3x-y=x'\\
x-5y=y'\\[/dispmath]
Ako pomnožiš drugu jednačinu sa [inlmath]3[/inlmath], i zatim ih oduzmeš, dobićeš [inlmath]y=\frac{1}{14}x'-\frac{3}{14}y'[/inlmath]
Sada možeš pomnožiti prvu jednačinu sa [inlmath]5[/inlmath], i oduzeti ih, dobije se da je [inlmath]x=\frac{5}{14}x'-\frac{1}{14}y'[/inlmath]
Dakle, funkcija [inlmath]f[/inlmath] je sirjekcija
Pošto je [inlmath]f[/inlmath] bijekcija za vježbu odredi inverznu funkciju funkcije [inlmath]f[/inlmath]
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Re: Da li je funkcija bijekcija
od ss_123 » Ponedeljak, 28. Novembar 2016, 00:39
Aha sad mi je jasno.
Inverz bi onda bio [inlmath]f^{-1}(x,y)=\left(\frac{5x-y}{14},\frac{x-3y}{14}\right)[/inlmath] jel tako?
Inverz bi onda bio [inlmath]f^{-1}(x,y)=\left(\frac{5x-y}{14},\frac{x-3y}{14}\right)[/inlmath] jel tako?
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 28. Novembar 2016, 10:16, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa
Razlog: Korekcija Latexa
Re: Da li je funkcija bijekcija
od Daniel » Ponedeljak, 28. Novembar 2016, 10:20
Da. Zapravo, inverzna funkcija je već i izračunata prilikom dokazivanja surjektivnosti.
Kad [inlmath]-1[/inlmath] stavljaš u eksponent, grupiši ga u Latexu unutar vitičastih zagrada. Znači, ne f^-1 (to se prikazuje kao [inlmath]f^-1[/inlmath]), već f^{-1} (prikazuje se kao [inlmath]f^{-1}[/inlmath]). Ispravio sam ti.
Kad [inlmath]-1[/inlmath] stavljaš u eksponent, grupiši ga u Latexu unutar vitičastih zagrada. Znači, ne f^-1 (to se prikazuje kao [inlmath]f^-1[/inlmath]), već f^{-1} (prikazuje se kao [inlmath]f^{-1}[/inlmath]). Ispravio sam ti.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Da li je funkcija bijekcija
od Onomatopeja » Sreda, 30. Novembar 2016, 18:08
Inace [inlmath]f[/inlmath] moze da se zapise i preko matrice (jer je to jedan linearan operator), pa se i u terminima matrica moze resiti ovaj zadatak (inverzna funkcija je inverzna matrica, i tako dalje).
Re: Da li je funkcija bijekcija
od Daniel » Petak, 02. Decembar 2016, 01:40
Čisto zbog onih koji baš ne vladaju ovom oblašću, prikazao bih Onomatopejinu ideju.
[dispmath]\begin{bmatrix}
x & y
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 & 1\\
-1 & -5
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3x-y & x-5y
\end{bmatrix}[/dispmath] [inlmath]\begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & -5 \end{bmatrix}[/inlmath] je matrica linearnog operatora, koji vektor [inlmath]\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix}[/inlmath] preslikava u vektor [inlmath]\begin{bmatrix} 3x-y & x-5y \end{bmatrix}[/inlmath].
I sad, ako obe strane pomnožimo zdesna sa [inlmath]\begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & -5 \end{bmatrix}^{-1}[/inlmath], dobijamo
[dispmath]\begin{bmatrix}
x & y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3x-y & x-5y
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 & 1\\
-1 & -5
\end{bmatrix}^{-1}[/dispmath] što znači da [inlmath]\begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & -5 \end{bmatrix}^{-1}[/inlmath] predstavlja matricu linearnog operatora koji odgovara inverznoj funkciji.
[dispmath]\begin{bmatrix}
x & y
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 & 1\\
-1 & -5
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3x-y & x-5y
\end{bmatrix}[/dispmath] [inlmath]\begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & -5 \end{bmatrix}[/inlmath] je matrica linearnog operatora, koji vektor [inlmath]\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix}[/inlmath] preslikava u vektor [inlmath]\begin{bmatrix} 3x-y & x-5y \end{bmatrix}[/inlmath].
I sad, ako obe strane pomnožimo zdesna sa [inlmath]\begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & -5 \end{bmatrix}^{-1}[/inlmath], dobijamo
[dispmath]\begin{bmatrix}
x & y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3x-y & x-5y
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 & 1\\
-1 & -5
\end{bmatrix}^{-1}[/dispmath] što znači da [inlmath]\begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & -5 \end{bmatrix}^{-1}[/inlmath] predstavlja matricu linearnog operatora koji odgovara inverznoj funkciji.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
8 Posta
• Stranica 1 od 1
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 6 gostiju