Nakon što sam izvježbao produkte, prelazim na sume. Zanima me kako se raspisuju. Je li to isti princip kao kod produkata ili se drukčije radi?

Evo konkretnog primjera koji je samo isječak iz jednog većeg zadatka
[dispmath]\sum_{k=1}^n\ln\frac{\left(k+1\right)^2}{k\left(k+2\right)}[/dispmath]

Uh, jaka neka suma...
Pa ovo ti se svodi na proizvod (produkt).
Zbog toga što je [inlmath]\ln a+\ln b=\ln\left(ab\right)[/inlmath], suma logaritama je, zapravo, logaritam proizvoda:
[dispmath]\sum_{k=1}^n\ln\frac{\left(k+1\right)^2}{k\left(k+2\right)}=\ln\left[\prod_{k=1}^n\frac{\left(k+1\right)^2}{k\left(k+2\right)}\right][/dispmath]
Znaš dalje? Slično je ovim zadacima.

Znam dalje bez problema

A što da nije bilo ovog [inlmath]\ln[/inlmath]-a? Jel se sume uvijek svode na produkt ili??

Naravno da se ne svode uvek na produkt. Zato sam za ovu sumu i rekao „jaka neka suma“.
Ova se svodi na produkte, jer ima taj logaritam.
Kod onih, da ih tako nazovem, „pravih“ suma, kada nema logaritma, dovijamo se na druge načine. Nema nekog univerzalnog recepta, sve zavisi od konkretnog zadatka. Isto kao, uostalom, i za proizvode.

Da, da ;D... Znači, ako mi nakon sume dolazi [inlmath]\ln[/inlmath], to će biti produkt. Postoji li još neka iznimka u kojoj se suma pretvara u produkt ili možda obrnuto?

Evo jednog zadačića gdje bi trebala ostati suma
[dispmath]a_n=\left(\sqrt{n+2}+2\right)\ln\left[\sum_{k=1}^n\frac{1}{k\left(k+1\right)}\right]\sin\left(n!+1\right)[/dispmath]

eseper je napisao:Da, da ;D... Znači, ako mi nakon sume dolazi [inlmath]\ln[/inlmath], to će biti produkt. Postoji li još neka iznimka u kojoj se suma pretvara u produkt ili možda obrnuto?

Pa, jedino mi sad pada na pamet slučaj kada se dešava obrnuto, tj. kada se produkt pretvara u sumu, a to će se desiti kad imamo funkciju koja je, logično, inverzna logaritamskoj funkciji, a to je eksponencijalna funkcija:
[dispmath]\prod_{k=1}^n a^k=a^1\cdot a^2\cdot a^3\cdots a^{n-1}\cdot a^n=a^{1+2+3+\cdots +\left(n-1\right)+n}=a^{\sum\limits_{k=1}^n}[/dispmath]


Što se ovog zadatka tiče,
[dispmath]a_n=\left(\sqrt{n+2}+2\right)\ln\left[\sum_{k=1}^n\frac{1}{k\left(k+1\right)}\right]\sin\left(n!+1\right)[/dispmath]
Prvo razvijamo sumu:
[dispmath]\sum_{k=1}^n\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{\left(n-2\right)\left[\left(n-2\right)+1\right]}+\frac{1}{\left(n-1\right)\left[\left(n-1\right)+1\right]}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{\left(n-2\right)\left(n-1\right)}+\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{2-1}{1\cdot 2}+\frac{3-2}{2\cdot 3}+\frac{4-3}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{\left(n-1\right)-\left(n-2\right)}{\left(n-2\right)\left(n-1\right)}+\frac{n-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\cdot n}+\frac{\left(n+1\right)-n}{n\left(n+1\right)}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{2}{1\cdot 2}-\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{3}{2\cdot 3}-\frac{2}{2\cdot 3}+\frac{4}{3\cdot 4}-\frac{3}{3\cdot 4}+\cdots +[/dispmath]
[dispmath]+\frac{\left(n-1\right)}{\left(n-2\right)\left(n-1\right)}-\frac{\left(n-2\right)}{\left(n-2\right)\left(n-1\right)}+\frac{n}{\left(n-1\right)\cdot n}-\frac{\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\cdot n}+\frac{\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}=[/dispmath]
[dispmath]=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}[/dispmath]
Ovde je sasvim očigledno da će se kratiti susedni sabirci, pa će na kraju ostati [inlmath]1[/inlmath] na samom početku i [inlmath]-\frac{1}{n+1}[/inlmath] na samom kraju:
[dispmath]1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}[/dispmath]
Limes ovog niza je, dakle:
(u zadatku nisi napisao, ali pretpostavljam da se traži limes, šta bi drugo)
[dispmath]\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+2}+2\right)\ln\left[\sum_{k=1}^n\frac{1}{k\left(k+1\right)}\right]\sin\left(n!+1\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+2}+2\right)\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)\sin\left(n!+1\right)=[/dispmath]
[dispmath]=\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+2}+2\right)\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-1}\sin\left(n!+1\right)=-\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+2}+2\right)\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\sin\left(n!+1\right)=[/dispmath]
[dispmath]=-\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+2}+2\right)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\sin\left(n!+1\right)=-\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+2}+2}{n}\cdot n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\sin\left(n!+1\right)=[/dispmath]
[dispmath]=-\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}+\frac{2}{n}\right)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\sin\left(n!+1\right)=-0\cdot\ln e\cdot\lim_{n\to\infty}\sin\left(n!+1\right)=0[/dispmath]
Ovaj faktorijel u argumentu sinusa izgleda zastrašujuće, ali, srećom, samo izgleda. Pošto je vrednost sinusne funkcije uvek u intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath], uvek će biti konačna bez obzira na to koliko daleko „odluta“ njen argument, pa pomnožena nulom daće – nulu.