Poštovani Matematičari,
Potrebna mi je pomoć oko zadataka iz statistike.
1. Učenici su izmerili dužine svojih stopala (u cm): 30, 38, 37, 30, 20, 30, 32.
a) Podatke uredite u redosledni (ordinalni) statistički niz.
b) Koliko odsto učenika ima stopalo dugo bar [inlmath]35\mbox{ cm}[/inlmath]?
c) Kolika je dužina stopala, od koje je kraće [inlmath]40\%[/inlmath] stopala učenika?

2. U tabeli su podaci o platama radnika u nekom preduzeću.

Plata (u [inlmath]\mbox{€}[/inlmath]) - Br. radnika
od [inlmath]500[/inlmath] do manje od [inlmath]600[/inlmath] - [inlmath]340[/inlmath]
od [inlmath]600[/inlmath] do manje od [inlmath]700[/inlmath] - [inlmath]110[/inlmath]
od [inlmath]700[/inlmath] do manje od [inlmath]800[/inlmath] - [inlmath]298[/inlmath]
od [inlmath]800[/inlmath] do manje od [inlmath]900[/inlmath] - [inlmath]437[/inlmath]
od [inlmath]900[/inlmath] do manje od [inlmath]1000[/inlmath] - [inlmath]113[/inlmath]


a) Koliko odsto radnika ima platu veću od [inlmath]760\mbox{ €}[/inlmath]?
b) Koliku platu ima [inlmath]15\%[/inlmath] najlošije plaćenih radnika?

Unapred zahvalan na pomoći!

Pozdrav, Superman, dobro došao na forum. Evo prvog, zasad.

a)

[dispmath]\;\;\;r_i\;\;\;[/dispmath]	[dispmath]\;\;\;20\;\;\;[/dispmath]	[dispmath]\;\;\;30\;\;\;[/dispmath]	[dispmath]\;\;\;32\;\;\;[/dispmath]	[dispmath]\;\;\;37\;\;\;[/dispmath]	[dispmath]\;\;\;38\;\;\;[/dispmath]
[dispmath]f_i[/dispmath]	[dispmath]1[/dispmath]	[dispmath]3[/dispmath]	[dispmath]1[/dispmath]	[dispmath]1[/dispmath]	[dispmath]1[/dispmath]

b)
Stopalo dugo bar [inlmath]35\mbox{ cm}[/inlmath] ima [inlmath]2[/inlmath] učenika – onaj koji ima stopalo dugo [inlmath]37\mbox{ cm}[/inlmath] i onaj koji ima stopalo dugo [inlmath]38\mbox{ cm}[/inlmath]; ukupno ima [inlmath]7[/inlmath] učenika.
[inlmath]i=2[/inlmath]
[inlmath]k=7[/inlmath]
[dispmath]p=\frac{i}{k}\cdot 100\%=\frac{2}{7}\cdot 100\%=\frac{200}{7}\%\approx 28,57\%[/dispmath]
c)
[inlmath]k=7[/inlmath]
[inlmath]p=40\%[/inlmath]
[dispmath]i=\frac{k\cdot p}{100\%}=\frac{7\cdot 40\%}{100\%}=2,8[/dispmath]
Ne dobija se ceo broj, što znači da ne postoji dužina stopala od koje je kraće tačno [inlmath]40\%[/inlmath] stopala učenika.
Od dužine [inlmath]25\mbox{ cm}[/inlmath] biće kraće stopalo [inlmath]14,29\%[/inlmath] učenika (tj. stopalo jednog učenika).
Od dužine [inlmath]31\mbox{ cm}[/inlmath] biće kraća stopala [inlmath]57,14\%[/inlmath] učenika (tj. stopala četiri učenika).

Superman je napisao:2. U tabeli su podaci o platama radnika u nekom preduzeću.

Plata (u [inlmath]\mbox{€}[/inlmath]) - Br. radnika
od [inlmath]500[/inlmath] do manje od [inlmath]600[/inlmath] - [inlmath]340[/inlmath]
od [inlmath]600[/inlmath] do manje od [inlmath]700[/inlmath] - [inlmath]110[/inlmath]
od [inlmath]700[/inlmath] do manje od [inlmath]800[/inlmath] - [inlmath]298[/inlmath]
od [inlmath]800[/inlmath] do manje od [inlmath]900[/inlmath] - [inlmath]437[/inlmath]
od [inlmath]900[/inlmath] do manje od [inlmath]1000[/inlmath] - [inlmath]113[/inlmath]


a) Koliko odsto radnika ima platu veću od [inlmath]760\mbox{ €}[/inlmath]?
b) Koliku platu ima [inlmath]15\%[/inlmath] najlošije plaćenih radnika?

Nešto mi ne štima u ovom zadatku... Pod a), nije nikako moguće odrediti koliki tačan procenat radnika ima platu manju od [inlmath]760\mbox{ €}[/inlmath], budući da su svi radnici s platama između [inlmath]700\mbox{ €}[/inlmath] i [inlmath]800\mbox{ €}[/inlmath] svrstani u jednu grupu i dat je samo broj radnika s platom u tom rasponu. Moguće je jedino odrediti koliki procenat radnika ima platu veću od [inlmath]700\mbox{ €}[/inlmath], kao i koliki procenat radnika ima platu veću od [inlmath]800\mbox{ €}[/inlmath], pa iz toga izračunati u kom rasponu bi se mogao kretati procenat radnika koji imaju platu veću od [inlmath]760\mbox{ €}[/inlmath].

Pod b), kad se izračuna [inlmath]15\%[/inlmath] ukupnog broja radnika, dobije se broj od [inlmath]194,7[/inlmath] radnika, što bi značilo da svih [inlmath]15\%[/inlmath] najlošije plaćenih radnika mora spadati u prvu grupu (od [inlmath]500\mbox{ €}[/inlmath] do manje od [inlmath]600\mbox{ €}[/inlmath] plate), ali opet ne znamo tačno kolika je ta plata, već znamo samo u kom rasponu se može kretati.

Jesi li siguran da nisi u tekstu izostavio neke podatke?

Poštovani Daniele i ostali članovi,

Evo konačnih i tačnih rezultata za gore postavlljena pitanja:

2.ZADATAK

Učenici su izmerili dužine svojih stopala (u [inlmath]\mbox{cm}[/inlmath]): [inlmath]30,\:38,\:37,\:30,\:20,\:30,\:32[/inlmath].

a) Podatke uredite u redosledni (ordinalni) statistički niz.
[dispmath]\begin{matrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
20 & 30 & 30 & 30 & 32 & 37 & 38
\end{matrix}[/dispmath]
b) Koliko odsto učenika ima stopalo dugo bar [inlmath]35\mbox{ cm}[/inlmath]?

Interval za kvantil: [inlmath]y_0<y<y_1;\;32<35<37[/inlmath]

Interval za rang : [inlmath]R_0<R<R_1;\;5<R<6[/inlmath]

Rang je : [inlmath]R=R_0+\frac{y-y_0}{y_1-y_0}\cdot(R_1-R_0);\;5+\frac{35-32}{37-32}\cdot(6-5)=5+\frac{3}{5}\cdot 1=5+\frac{3}{6}=5+0.6=5.6[/inlmath]

Kvantilni rang : [inlmath]P=\frac{R-0.5}{N};\;\frac{5.6-0.5}{7}=\frac{5.1}{7}=0.7286[/inlmath]
Da dobijemo procenat množimo rezultat sa [inlmath]100=72.86\%[/inlmath]

Zadatak je koliko odsto učenika ima stopalo dugo bar [inlmath]35\mbox{ cm}[/inlmath], gleda se druga polovina, tj. ko ima stopalo više od [inlmath]35\mbox{ cm}[/inlmath]. zanči da se dobijeni procenat oduzima od [inlmath]100[/inlmath], tako da dobijamo [inlmath]27.14\%[/inlmath] što je i odgovor.

c) Kolika je dužina stopala, od koje je kraće [inlmath]40\%[/inlmath] stopala učenika?

Kvantilni rang je [inlmath]40\%[/inlmath], znači [inlmath]P=0.4[/inlmath]
Tražimo koji je rang; [inlmath]R=N\cdot P+0.5;\;7\cdot 0.4+0.5=3.3[/inlmath]
Interval za kvantil: [inlmath]y_0<y<y_1;\;30<y<30[/inlmath]
Interval za rang : [inlmath]R_0<R<R_1;\;3<3.3<4[/inlmath]

Tražimo kvantile: [inlmath]y=y_0+\frac{R-R_0}{R_1-R_0}\cdot(y_1-y_0);\;30+\frac{3.3-3}{4-3}\cdot(30-30)=30+\frac{0.3}{1}\cdot 0=30+0=30\mbox{ cm}[/inlmath]
Rešenje je [inlmath]30\mbox{ cm}[/inlmath].

---

3. ZADATAK
U tabeli su podaci o platama radnika u nekom preduzeću.

Plata (u [inlmath]\mbox{€}[/inlmath]) Br. radnika
od [inlmath]500[/inlmath] do manje od [inlmath]600[/inlmath] – [inlmath]340[/inlmath]
od [inlmath]600[/inlmath] do manje od [inlmath]700[/inlmath] – [inlmath]110[/inlmath]
od [inlmath]700[/inlmath] do manje od [inlmath]800[/inlmath] – [inlmath]298[/inlmath]
od [inlmath]800[/inlmath] do manje od [inlmath]900[/inlmath] – [inlmath]437[/inlmath]
od [inlmath]900[/inlmath] do manje od [inlmath]1000[/inlmath] – [inlmath]113[/inlmath]

a) Koliko odsto radnika ima platu veću od [inlmath]760\mbox{ €}[/inlmath]?
Prvo moramo da izračunamo kumulativne frekvencije:
Plata (u [inlmath]\mbox{€}[/inlmath]) Br. radnika [inlmath]F_k[/inlmath]
od [inlmath]500[/inlmath] do manje od [inlmath]600[/inlmath] [inlmath]340[/inlmath] [inlmath]340[/inlmath]
od [inlmath]600[/inlmath] do manje od [inlmath]700[/inlmath] [inlmath]110[/inlmath] [inlmath]450[/inlmath]
od [inlmath]700[/inlmath] do manje od [inlmath]800[/inlmath] [inlmath]298[/inlmath] [inlmath]748[/inlmath]
od [inlmath]800[/inlmath] do manje od [inlmath]900[/inlmath] [inlmath]437[/inlmath] [inlmath]1185[/inlmath]
od [inlmath]900[/inlmath] do manje od [inlmath]1000[/inlmath] [inlmath]113[/inlmath] [inlmath]1298[/inlmath]

Potrebno je da nađemo intervale u kojima se nalaze:
[dispmath]y_{k_{min}}<y_i<y_{k_{max}}=700<760<800\\
F_{k-1}<R_i<F_k=450<R_i<748[/dispmath]
Potrebno je da nađemo rang: gde je [inlmath]I_k[/inlmath]-širina intervala; [inlmath]F_k[/inlmath]-frekvencija intervala
[dispmath]R_i=F_{k-1}+\frac{y_i-y_{k_{min}}}{I_k}\cdot f_k=450+\frac{760-700}{100}\cdot 298=450+\frac{60}{100}\cdot 298=450+178.8=628.8[/dispmath]
Kvantilni rang: [inlmath]P=\frac{R-0.5}{N}=\frac{628.8-0.5}{1298}=\frac{628.3}{1298}=0.484[/inlmath]
Da dobijemo [inlmath]\%[/inlmath] rezultat pmnožimo sa [inlmath]100=48.4\%[/inlmath]
Pošto se traži ko ma veću platu od [inlmath]760\mbox{ €}[/inlmath], gledamo drugu polovini, znači rezultat se oduzima od [inlmath]100[/inlmath], tako da dobijamo rešenje [inlmath]51.6\%[/inlmath].

b) Koliku platu ima [inlmath]15\%[/inlmath] najlošije plaćenih radnika?

Plata (u [inlmath]\mbox{€}[/inlmath]) Br. radnika [inlmath]F_k[/inlmath]
od [inlmath]500[/inlmath] do manje od [inlmath]600[/inlmath] [inlmath]340[/inlmath] [inlmath]340[/inlmath]
od [inlmath]600[/inlmath] do manje od [inlmath]700[/inlmath] [inlmath]110[/inlmath] [inlmath]450[/inlmath]
od [inlmath]700[/inlmath] do manje od [inlmath]800[/inlmath] [inlmath]298[/inlmath] [inlmath]748[/inlmath]
od [inlmath]800[/inlmath] do manje od [inlmath]900[/inlmath] [inlmath]437[/inlmath] [inlmath]1185[/inlmath]
od [inlmath]900[/inlmath] do manje od [inlmath]1000[/inlmath] [inlmath]113[/inlmath] [inlmath]1298[/inlmath]

Iz zadatka vidimo da je procenat [inlmath]15\%[/inlmath], što nam daje [inlmath]P=0.15[/inlmath]
Prvo izračunavamo rang: [inlmath]R_i=N\cdot P+0.5=1298\cdot 0.15+0.5=194.7+0.5=195.2[/inlmath]

Potrebno je da nađemo intervale u kojima se nalaze:
[dispmath]y_{k_{min}}<y_i<y_{k_{max}}=500<y_i<600\\
F_{k-1}<R_i<F_k=0<195.2<340[/dispmath]
Potrebno je da nađemo vrednost kvantila: [inlmath]y_i=y_{k_{min}}+\frac{R_i-F_{k-1}}{f_k}\cdot I_k=500+\frac{195.2-0}{340}\cdot 100=500+57.41=557.41[/inlmath]

Rešenje je [inlmath]15\%[/inlmath] najlošije plaćenih radnikaima u proseku platu [inlmath]557.41\mbox{ €}[/inlmath]

Hm, baš zanimljivo... [inlmath]2[/inlmath] od ukupno [inlmath]7[/inlmath] učenika, znači, ne predstavljaju [inlmath]28,57\%[/inlmath], već [inlmath]27,14\%[/inlmath]
Ne kažem da je njihovo rešenje netačno, već se u tom zadatku očigledno pod pojmom procenat ne podrazumeva ono na šta smo navikli u svakodnevnom životu, već nešto drugo...
U svakom slučaju, hvala ti što si podelio rešenja s nama, sigurno će koristiti.