Prijemni ispit MATF – 29. jun 2015.
3. zadatak

Dobar dan gospodo!

Imam problema oko 3. zadatka sa Matf-a 2015. godine....
Zadatak glasi: Date su kruzna linija [inlmath]k[/inlmath] jednacinom [inlmath]x^2+y^2=a^2[/inlmath], [inlmath]a>0[/inlmath] i tacka [inlmath]P(a,a)[/inlmath]. Neka su [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] tacke u kojima prava [inlmath]PO[/inlmath] sece [inlmath]k[/inlmath], gde je [inlmath]O[/inlmath] koordinatni pocetak. Proizvod [inlmath]PA\cdot PB[/inlmath] jednak je?
[inlmath]A)\;\frac{a^2}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;a^2;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;2a^2;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;a^2\sqrt2;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\frac{a^2}{\sqrt2}.[/inlmath]

Resenje je inace [inlmath]a^2[/inlmath]

Moje pitanje se odnosi na ono sto kaze resenje, ja sam sve razlozio na sledeci nacin... Znamo da ce dijagonala koja je oznacena tackama recimo [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath]. Gde je [inlmath]P(a,a)[/inlmath] i [inlmath]D(-a,-a)[/inlmath], te ce duzina ove duzi biti [inlmath]2a\sqrt2[/inlmath]. E sad posto su tacke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], bar sam ih ja tako oznacio i zamislio, da [inlmath]A[/inlmath] bude najbliza a [inlmath]B[/inlmath] najdalja... Zanima me da li je greska ako one pripadaju pravoj koja je odredjena tackama [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]O[/inlmath]. Meni je to logicno da u tom slucaju one zapravo grade precnik kruznice koje seku..... I evo sad dok pisem hahahah, izgleda da ce ovo biti prelomno u zadatku iako i dalje nisam siguran kako... Zbirka argumentuje da ako dodamo tacku [inlmath]C[/inlmath] sa koordinatama [inlmath]C(a,0)[/inlmath] da ce kvadrat duzi [inlmath]PC[/inlmath] zapravo odgovarati proizvodu koji se trazi odnosno [inlmath]PA\cdot PB[/inlmath]....

Moram da dodam da mi ovo izgleda dosta slicno onom zadatku kada smo dokazivali zasto je isto kada se sabiraju centar i tamo neka tacka van kruga i pomnoze sa [inlmath]2[/inlmath], i ono ispada identicno zbiru duzi najdalje i najblize tacke na kruznici kada pojedinacno grade svoju duz sa tom tackom van kruga..... U svakom slucaju ovde je u pitanju mnozenje pa i dalje ostajem zbunjen skroz.

Ne bih mogao da se nadovezem na tvoj postupak jer nisam razumeo sta tacno hoces tacno da uradis. Uvodjenjem nepotrebnih tacaka samo dodatno komplikujes zadatak.
Pokazacu nacin na koji mozes uraditi zadatak, pa ti uporedi sa svojim, pa vidi sta i kako...
Neka je tacka [inlmath]A[/inlmath] najbliza, a tacka [inlmath]B[/inlmath] najdalja tacki [inlmath]P[/inlmath] (tacke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] pripadaju kruznici). Tacka [inlmath]P(a,a)[/inlmath] je od koordinatnog pocetka, tacke [inlmath]O[/inlmath], udaljena [inlmath]a\sqrt2[/inlmath] (dijagonala kvadrata stranice [inlmath]a[/inlmath]). Kako je [inlmath]BO=a[/inlmath] sledi da je [inlmath]PB=a\sqrt2+OB=a\sqrt2+a[/inlmath]. Znamo i da je [inlmath]AB=2a[/inlmath] (precnik kruga), pa je [inlmath]PA=PB-AB=a\sqrt2+a-2a=a\sqrt2-a[/inlmath].
Dakle, [inlmath]PB=a\sqrt2+a[/inlmath], a [inlmath]PA=a\sqrt2-a[/inlmath]. Ostalo je jos da izmnozimo vrednosti ove dve duzi
[dispmath]PB\cdot PA=\left(a\sqrt2+a\right)\left(a\sqrt2-a\right)=\left(a\sqrt2\right)^2-a^2=2a^2-a^2=a^2[/dispmath]

Ja bih ovaj zadatak radio ovako kako je pokazao Frank.

Inače, ako hoćeš da se pozoveš na postupak u "... onom zadatku kada se sabiraju centar i tamo neka tačka...", molim te da ga linkuješ. Ovako samo ostaje da se nagađa na koji si zadatak tačno mislio, šta je u njemu zadato i šta se traži.

miletrans je napisao:Inače, ako hoćeš da se pozoveš na postupak u "... onom zadatku kada se sabiraju centar i tamo neka tačka...", molim te da ga linkuješ.

Pretpostavljam da je mislio na ovaj zadatak.

Hvala vam puno! Ja sam skroz smakao s uma da je [inlmath]AB[/inlmath] duz zapravo [inlmath]2a[/inlmath]... Jasno mi je skroz sta ste uradili.

Sto se tice toga sto nisam linkovao post koji sam prokomentarisao, se iskreno izvinjavam. Nece se ponoviti u buducnosti, izvinite jos jednom.

Griezzmiha je napisao:E sad posto su tacke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], bar sam ih ja tako oznacio i zamislio, da [inlmath]A[/inlmath] bude najbliza a [inlmath]B[/inlmath] najdalja... Zanima me da li je greska ako one pripadaju pravoj koja je odredjena tackama [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]O[/inlmath]. Meni je to logicno da u tom slucaju one zapravo grade precnik kruznice koje seku.....

Da, razmišljanje je ispravno.

Griezzmiha je napisao:Zbirka argumentuje da ako dodamo tacku [inlmath]C[/inlmath] sa koordinatama [inlmath]C(a,0)[/inlmath] da ce kvadrat duzi [inlmath]PC[/inlmath] zapravo odgovarati proizvodu koji se trazi odnosno [inlmath]PA\cdot PB[/inlmath]....

Zbirka je mislila na potenciju tačke u odnosu na kružnicu. Ako nisi čuo za taj pojam, to znači sledeće:


Neka je [inlmath]P[/inlmath] neka tačka van kružnice [inlmath]k[/inlmath] i neka su [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] tačke preseka kružnice [inlmath]k[/inlmath] s pravom povučenom iz tačke [inlmath]P[/inlmath] (samim tim je, je li, duž [inlmath]AB[/inlmath] tetiva kružnice [inlmath]k[/inlmath] koja pripada pravoj kojoj pripada i tačka [inlmath]P[/inlmath]). Zatim, neka je [inlmath]T[/inlmath] tačka dodira kružnice [inlmath]k[/inlmath] i njene tangente koja sadrži tačku [inlmath]P[/inlmath]. Tada važi
[dispmath]PA\cdot PB=PT^2[/dispmath] i taj proizvod predstavlja potenciju tačke [inlmath]P[/inlmath] u odnosu na kružnicu [inlmath]k[/inlmath].
(Odavde još sledi i to, da ako iz tačke [inlmath]P[/inlmath] povučemo neku drugu pravu koja će seći kružnicu u tačkama [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath], tada će biti [inlmath]PC\cdot PD=PA\cdot PB=PT^2[/inlmath], tj. koju god pravu da povučemo koja seče kružnicu [inlmath]k[/inlmath], proizvod rastojanja od tačke [inlmath]P[/inlmath] do prve i do druge tačke preseka biće konstantan.)

E sad, ako celu ovu priču primeniš na ovaj zadatak, do rešenja se stiže takoreći bez ikakvog računanja – upravo na to se odnosi odgovor u zbirci.