Imaginarni deo kompleksnog broja – drugi probni prijemni FON 2014.

od **Acim** » Utorak, 09. Mart 2021, 19:16

Drugi probni prijemni ispit FON – 3. jul 2014.
2. zadatak

Pozdrav,
Zapeo sam kod jednog zadatka u vezi kompleksnih brojeva. Zadatak ne mogu da linkujem, pošto još uvek nije obrađivan nijedan zadatak sa tog roka, pa ću navesti ovde tekst;

Ako je [inlmath]z=\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^7[/inlmath] gde je [inlmath]i^2=-1[/inlmath], onda je [inlmath]\text{Im}\left(z^{2014}\right)[/inlmath] jednako;
Tačan odgovor je [inlmath]-1[/inlmath]

Pokušao sam prvo da ga rešim preko Moavrove formule, ali nju neću ispisati ovaj put pošto ima i kraći postupak (dobijam i sa jednim i sa drugim isti rezultat);
[dispmath]\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)\cdot\left(\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^2\right)^3\\
\frac{1-i}{\sqrt2}-i^{-3}[/dispmath] Kad se ovo sredi, dobijam izraz u obliku [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i[/inlmath]
Prema ovome, imaginarni deo bi bio [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], iz čega sledi će [inlmath]\text{Im}\left(z^{2014}\right)[/inlmath] biti [inlmath]2^{1007}[/inlmath] što nije tačno.
Ne znam gde sam mogao da napravim lapsus :think1:

Hvala unapred na sugestiji.

od **Frank** » Utorak, 09. Mart 2021, 19:54

Pozdrav,
vodi računa da [inlmath]\text{Im}\left(z^{2014}\right)[/inlmath] nije isto što i [inlmath](\text{Im }(z))^{2014}[/inlmath] (kao ni što, na primer, [inlmath]\sin x^2[/inlmath] nije isto što i [inlmath]\sin^2x[/inlmath]).
Preporučujem ti da pogledaš ovu temu.
Nisam detaljno gledao postupak, ali bih ovako, na prvu, rekao da je dobar.

od **Acim** » Utorak, 09. Mart 2021, 20:07

Sad baš gledam link, ali još uvek ne mogu da skopčam gde sam propust napravio.

od **Frank** » Utorak, 09. Mart 2021, 20:13

Kako si iz [inlmath]z=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i[/inlmath] zaključio da je [inlmath]\text{Im}\left(z^{2014}\right)[/inlmath] jednako [inlmath]2^{1007}[/inlmath]?

od **Acim** » Utorak, 09. Mart 2021, 20:25

Imaginarni deo broja [inlmath]z=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i[/inlmath] je [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath]
Pa sam onda taj deo dizao na [inlmath]2014[/inlmath] stepen.
Pre stepenovanja, rastavio sam [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] na [inlmath]\sqrt2[/inlmath] i kada stepenujem na [inlmath]2014[/inlmath] dobijem to rešenje.
Verovatno je baš u tom poslednjem koraku greška, čim mi nije tačno, ali ne uočavam šta sam trebao da uradim.

od **Frank** » Utorak, 09. Mart 2021, 20:34

Frank je napisao:vodi računa da [inlmath]\text{Im}\left(z^{2014}\right)[/inlmath] nije isto što i [inlmath](\text{Im }(z))^{2014}[/inlmath] (kao ni što, na primer, [inlmath]\sin x^2[/inlmath] nije isto što i [inlmath]\sin^2x[/inlmath])

od **Daniel** » Utorak, 09. Mart 2021, 21:19

Ilustrovao bih primerom ovo na šta ti je Frank skrenuo pažnju. Zamislimo neki kompleksni broj [inlmath]z=a+ib[/inlmath].

Ako bismo prvo našli imaginarni deo, pa ga zatim stepenovali dvojkom:
Imaginarni deo je [inlmath]b[/inlmath], stepenujemo ga dvojkom i dobijemo [inlmath]b^2[/inlmath]. To jest, [inlmath](\text{Im }z)^2=\bigl(\text{Im }(a+ib)\bigr)^2=b^2[/inlmath]

S druge strane, ako bismo prvo stepenovali dvojkom, pa zatim od toga našli imaginarni deo:
Kvadrat broja [inlmath]z=a+ib[/inlmath] iznosi [inlmath]a^2-b^2+i2ab[/inlmath], imaginarni deo od toga je [inlmath]2ab[/inlmath]. To jest, [inlmath]\text{Im }z^2=\text{Im}\left(a^2-b^2+i2ab\right)=2ab[/inlmath]

Odavde se jasno vidi da je [inlmath](\text{Im }z)^2\ne\text{Im }z^2[/inlmath].
Naravno, isto tako važi i [inlmath](\text{Im }z)^{2014}\ne\text{Im }z^{2014}[/inlmath].

Acim je napisao:Prema ovome, imaginarni deo bi bio [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], iz čega sledi će [inlmath]\text{Im}\left(z^{2014}\right)[/inlmath] biti [inlmath]2^{1007}[/inlmath] što nije tačno.

Čak i da je ovde trebalo [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] dići na [inlmath]2014.[/inlmath] stepen, rezultat ne bi bio [inlmath]2^{1007}[/inlmath] već bi bio [inlmath]2^{-1007}[/inlmath].

od **Acim** » Utorak, 09. Mart 2021, 21:50

Biće da onda nisam razumeo zadatak. Ali zbog čega je onda zadat izraz na sedmi stepen, kad se na kraju traži imaginarni deo tog broja na [inlmath]2014[/inlmath]? Da li je onda trebalo da stepenujem izraz na [inlmath]2014[/inlmath] pa da onda nađem imaginarni deo?

od **Frank** » Četvrtak, 11. Mart 2021, 02:18

Dakle, dat je kompleksan broj [inlmath]z=\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^7[/inlmath], a traži se imaginaran deo broja [inlmath]z^{2014}[/inlmath], ovde ne vidim ništa sporno
Sve je dobro do koraka

Acim je napisao:Kad se ovo sredi, dobijam izraz u obliku [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i[/inlmath]

a kako da dovršiš zadatak rečeno je u prethodnim postovima.
Dakle, [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i[/inlmath] pretvori u trigonometrijski oblik, pa primeni Moavrovu formulu, pa tek onda odredi [inlmath]\text{Im}\left(z^{2014}\right)[/inlmath]

od **Daniel** » Petak, 12. Mart 2021, 16:59

Acim je napisao:Ali zbog čega je onda zadat izraz na sedmi stepen, kad se na kraju traži imaginarni deo tog broja na [inlmath]2014[/inlmath]?

Izraz na sedmi stepen je zadat jer on predstavlja vrednost broja [inlmath]z[/inlmath]. E kad si odredio vrednost broja [inlmath]z[/inlmath], onda tu vrednost stepenuješ brojem [inlmath]2014[/inlmath], i odrediš imaginarni deo toga što si dobio (jer tražiš imaginarni deo od [inlmath]z^{2014}[/inlmath]).

Acim je napisao:Da li je onda trebalo da stepenujem izraz na [inlmath]2014[/inlmath] pa da onda nađem imaginarni deo?

Upravo tako, a ne obrnuto. Traži se [inlmath]\text{Im}\left(z^{2014}\right)[/inlmath]. Zagrada označava da se ono što je unutar nje – prvo računa. Isto kao što se npr. u izrazu [inlmath]5-(2+1)[/inlmath] prvo računa ono što je unutar zagrade.

Ovde se čak može i preskočiti određivanje samog broja [inlmath]z[/inlmath].
Naime, pošto treba da nađemo [inlmath]z^{2014}[/inlmath] (kako bismo nakon toga odredili njegov imaginarni deo), a [inlmath]z=\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^7[/inlmath], to je
[dispmath]z^{2014}=\left(\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^7\right)^{2014}=\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{7\cdot2014}=\\
=\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{2\cdot7\cdot1007}=\left(\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^2\right)^{7\cdot1007}=(-i)^{7\cdot1007}=\cdots[/dispmath] Dakle, sama vrednost [inlmath]z[/inlmath] nam nije potrebna.

Imaginarni deo kompleksnog broja – drugi probni prijemni FON 2014.

Imaginarni deo kompleksnog broja – drugi probni prijemni FON 2014.

Sharuj ovu temu na:

Re: Imaginarni deo kompleksnog broja – drugi probni prijemni FON 2014.

Re: Imaginarni deo kompleksnog broja – drugi probni prijemni FON 2014.

Re: Imaginarni deo kompleksnog broja – drugi probni prijemni FON 2014.

Re: Imaginarni deo kompleksnog broja – drugi probni prijemni FON 2014.

Re: Imaginarni deo kompleksnog broja – drugi probni prijemni FON 2014.

Re: Imaginarni deo kompleksnog broja – drugi probni prijemni FON 2014.

Re: Imaginarni deo kompleksnog broja – drugi probni prijemni FON 2014.

Re: Imaginarni deo kompleksnog broja – drugi probni prijemni FON 2014.

Re: Imaginarni deo kompleksnog broja – drugi probni prijemni FON 2014.

Ko je OnLine