Pozdrav! Uradio sam jedan zadatak ali moj postupak (i samo rešenje) ima bitnih razlika u odnosu na postupak (i samo rešenje) iz zbirke. Rekao bih da je moj postupak tačan, al' prvi put se susrećem sa zadacima ovog tipa, pa velim bolje da neko prekontroliše.
Zadatak:

Za koje vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] funkcija [inlmath]f(x)={\large\frac{a^2-1}{3}}x^3+(a-1)x^2+2x+1[/inlmath] raste za sve [inlmath]x[/inlmath]?
Rešenje u zbirci: [inlmath](-\infty,-3)\cup(1,+\infty)[/inlmath]

Moj postupak:
[dispmath]f(x)=\frac{a^2-1}{3}x^3+(a-1)x^2+2x+1\\
f'(x)=\left(a^2-1\right)x^2+2(a-1)x+2\\
\left(a^2-1\right)x^2+2(a-1)x+2\ge0\\
1^\circ\qquad a^2-1=0\;\Longrightarrow\;a=\pm1[/dispmath] Za [inlmath]a=1[/inlmath] na levoj strani nejednakosti je [inlmath]2\ge0[/inlmath], pa ću [inlmath]a=1[/inlmath] uključiti u konačno rešenje. (Da je [inlmath]a=1[/inlmath] jedno od "rešenja" lako se proverava zamenom u početnu funkciju - nakon zamene dobija se linearna funkcija [inlmath]2x+1[/inlmath], linearni koeficijent je pozitivan pa je funkcija rastuća za svako [inlmath]x[/inlmath].)
Za [inlmath]a=-1[/inlmath] na levoj strani nejednakosti se dobija [inlmath]-4x+2[/inlmath], pa [inlmath]a=-1[/inlmath] odbacujem.
[dispmath]2^\circ\qquad a^2-1>0\;\land\;D\le0\\
\left.\begin{array}{l}
a^2-1>0\;\Longrightarrow\;a\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\\
D\le0\;\Longrightarrow\;a\in(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)
\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\;a\in(-\infty,-3]\cup(1,+\infty)[/dispmath] I na kraju unija prvog i drugog slučaja daje konačno rešenje
[dispmath]\enclose{box}{a\in(-\infty,3]\cup[1,+\infty)}[/dispmath] U zbirci su postavili uslov [inlmath]f'(x)>0[/inlmath] (stroga nejednakost) i nisu razmatrali slučaj kada je kvadratni koeficijent (kod kvadratne nejednačine u prvom izvodu) jednak nuli.
Hvala!

Kada je izvod neke funkcije jednak nuli tada je obično ta tačka neka od ekstremnih vrednosti tj tu funkcija menja monotonost tako da se ovde samo piše [inlmath]D<0[/inlmath] i [inlmath]a>0[/inlmath].
Sad ako ovo nije tačno neka me neko ispravi.

@Frank
Potvrđujem tačnost tvog postupka. Zbirka je previdela tu zamku na koju se ti nisi dao uloviti – da u slučaju kada su koeficijenti uz kubni i uz kvadratni član jednaki nuli, imamo rastuću linearnu funkciju, tako da se [inlmath]a=1[/inlmath] mora uključiti u skup rešenja.
Što se tiče [inlmath]a=-3[/inlmath], tu stvar već nije toliko očigledna – traži se da funkcija za svako [inlmath]x[/inlmath] bude ne monotono neopadajuća, već monotono rastuća (stroži uslov). Za [inlmath]a=-3[/inlmath] dobijamo da postoji tačka u kojoj je prvi izvod jednak nuli ([inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath]), tj. da je u pitanju stacionarna tačka, i reklo bi se da u toj tački funkcija nije monotono rastuća. Međutim, pošto u svakoj proizvoljno maloj okolini [inlmath]\varepsilon[/inlmath] tačke [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath] važi [inlmath]f\left(\frac{1}{2}-\varepsilon\right)<f\left(\frac{1}{2}\right)[/inlmath] i [inlmath]f\left(\frac{1}{2}+\varepsilon\right)>f\left(\frac{1}{2}\right)[/inlmath], ipak možemo reći da će i za [inlmath]a=-3[/inlmath] funkcija biti monotono rastuća za svako [inlmath]x[/inlmath].