Riješiti jednačinu na [inlmath]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/inlmath]:
[dispmath]2^{x-3}+2^{3-x}=\frac{2}{\Big|x-|y-1|-1\Big|+1}[/dispmath] Rješenje: [inlmath](x,y)\in\{(3,-1),(3,3)\}[/inlmath]

Moj pokušaj:

Definiciono područje je [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] i za [inlmath]x[/inlmath], i za [inlmath]y[/inlmath].

Data jednačina je ekvivalentna s jednačinom
[dispmath]\Big|x-|y-1|-1\Big|=\frac{2}{2^{x-3}+2^{3-x}}-1[/dispmath] Ako uzmemo da je podapsolutna vrijednost pozitivna, onda je:
[dispmath]|y-1|=x-\frac{2}{2^{x-3}+2^{3-x}}[/dispmath] Ako opet uzmemo da je podapsolutna vrijednost pozitivna, onda je:
[dispmath]y=x+1-\frac{2}{2^{x-3}+2^{3-x}}[/dispmath] Ako se ne varam ovo je samo jedan od [inlmath]4[/inlmath] slučaja koje treba ispitati.

Za dobijenu jednačinu imamo beskonačno mnogo uređenih parova, a u rješenju imamo samo cjelobrojne vrijednosti,
razmišljam možda je greška u tekstu zadatka pa je trebalo pisati: riješiti jednačinu na [inlmath]\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}[/inlmath]?

Hvala unaprijed!

Ne, dobar je tekst zadatka. [inlmath](x,y)\in\{(3,-1),(3,3)\}[/inlmath] zaista jesu jedina dva rešenja u [inlmath]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/inlmath].

Zadatak se zapravo radi vrlo jednostavno, upoređivanjem kodomena leve i desne strane. 'Oćeš da pokušaš tako?

Određivanje kodomena za [inlmath]2^{x-3}+2^{3-x}=2^{x-3}+\frac{1}{2^{x-3}}[/inlmath]:
Ako uvedemo smjenu [inlmath]2^{x-3}=t>0[/inlmath], onda će izraz biti: [inlmath]t+\frac{1}{t}[/inlmath]. Prvi izvod je [inlmath]1-\frac{1}{t^2}[/inlmath], kad ga izjednačimo s nulom, dobijemo rješenja [inlmath]t=\pm1[/inlmath], gdje je samo [inlmath]t=1[/inlmath] prihvatljivo.
Vratimo smjenu: [inlmath]2^{x-3}=1\enspace\Longrightarrow\enspace\underline{x=3}[/inlmath]. Što znači da za [inlmath]x=3[/inlmath], lijeva strana ima minimalnu vrijednost [inlmath]2[/inlmath]. Kodomen je [inlmath][2,+\infty)[/inlmath]

Određivanje kodomena za [inlmath]\frac{2}{\Big|x-|y-1|-1\Big|+1}[/inlmath]:
Kako je [inlmath]\Big|x-|y-1|-1\Big|\geq0[/inlmath] i u nazivniku je, ovaj izraz ima maksimalnu vrijednost [inlmath]2[/inlmath] za [inlmath]\Big|x-|y-1|-1\Big|=0[/inlmath]. Kodomen je [inlmath](0,2][/inlmath]

Kako je presjek kodomenā ove dvije strane samo jedna vrijednost: [inlmath]2[/inlmath], onda je sigurno [inlmath]x=3[/inlmath], a vrijednosti za [inlmath]y[/inlmath] su:
[dispmath]\Big|3-|y-1|-1\Big|=0\\
|y-1|=2\\
y_1=3\enspace\lor\enspace y_2=-1\\
\enclose{box}{(x,y)\in\{(3,-1),(3,3)\}}[/dispmath] Da li je ovo riješeno na dobar način?

Odlično je. Jedino što si za levu stranu izvod mogao računati i bez smene (ali OK je i sa smenom ako ti je tako lakše).
Izvod leve strane je [inlmath]\left(2^{x-3}+2^{3-x}\right)'=\left(2^{x-3}-2^{3-x}\right)\ln2[/inlmath], pa kad to izjednačimo s nulom, dobije se [inlmath]2^{x-3}=2^{3-x}[/inlmath], tj. [inlmath]x-3=3-x[/inlmath], tj. [inlmath]x=3[/inlmath].