Pozdrav svima! Već neko vreme pokušavam da razumem jedan tip zadataka ali mi ne ide. U pitanju je određivanje raspodele neke veličine koja zavisi od komponenata slučajnog vektora. Evo i primera i kako sam ja pokušala da ga rešim.
Gustina slučajnog vektora [inlmath](X,Y)[/inlmath] je
[dispmath]f_{(X,Y)}(x,y)=\begin{cases}
15x^2y, & 0\leq x\leq y\leq1\\
0,& \text{inače}\\
\end{cases}[/dispmath] Odrediti funkciju raspodele slučajne promenljive [inlmath]Z=X+Y[/inlmath].

Ja sam nacrtala grafik i videla da imamo 3 slučaja: prvi kada je [inlmath]z\in(-\infty,1][/inlmath], drugi kada je [inlmath]z\in[1,2][/inlmath] i treći kada je [inlmath]z\gt2[/inlmath]. Za treći se odmah vidi da je [inlmath]F_Z(z)=1[/inlmath], a za prva dva sam računala [inlmath]P(X+Y\leq z)[/inlmath] pomoću integrala i to sam računala:
[dispmath]\int\limits_0^z\int\limits_0^{z-x}\!15x^2y\,\mathrm dy\,\mathrm dx,\quad0\leq z\leq1\\
1-\int\limits_{z-1}^1\,\int\limits_{z-y}^115x^2y\,\mathrm dx\,\mathrm dy,\quad1\leq z\leq2[/dispmath] Međutim, u rešenju su računali
[dispmath]\int\limits_0^{z/2}\int\limits_x^{z-x}\!15x^2y\,\mathrm dy\,\mathrm dx,\quad0\leq z\leq1\\
1-\int\limits_{z/2}^1\,\int\limits_{z-y}^z15x^2y\,\mathrm dx\,\mathrm dy,\quad1\leq z\leq2[/dispmath] Ako može neko da mi pojasni kako su oni došli baš do ovih granica integrala bila bih veoma zahvalna.

Da li bi pojasnila kakav grafik si nacrtala? Pošto mi deluje da si tu pogrešila.

Evo, nacrtao sam u Desmosu interaktivni graf. Možeš da pomeraš slajder za [inlmath]z[/inlmath] (na jednačine ne moraš da obraćaš pažnju).

Kao što si napisala, važi [dispmath]F_Z(z) = \mathrm P \{ Z \le z\} = \mathrm P \{ X+Y \le z\} = \iint\limits_{\{x+y<z\}} f_{X,Y} (x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy.[/dispmath] Dakle mi želimo da integralimo gustinu verovatnoće [inlmath]f_{X,Y}[/inlmath] na skupu [inlmath]S_z=\{(x,y) \in\mathbb R ^2 \mid x+y \le z \}[/inlmath] (za svako [inlmath]z\in\mathbb R[/inlmath]). Na grafiku kog sam linkovao, ja sam ovaj skup obeležio sa crvenom bojom. Dakle, kao što vidiš u pitanju je jedna poluravan čija granica je linija [inlmath]x+y=z[/inlmath].

Data gustina verovatnoće je različita od nule samo u trouglu [inlmath]T=\{0\le x\le y \le 1\}[/inlmath] koji je obeležen crnom bojom. Prema tome, dovoljno je integraliti samo po ovom skupu (jer je sve van ovog trougla [inlmath]0[/inlmath]). Dakle interesuje nas integral po skupu [inlmath]T\cap S_z[/inlmath].

Sad razlikujemo slučajeve:

• Ako je [inlmath]z < 0[/inlmath] tada je [inlmath]T\cap S_z[/inlmath] prazan skup, pa je integral po ovom skupu [inlmath]0[/inlmath]. Tj [inlmath]F_Z(z)=0[/inlmath] za [inlmath]z<0[/inlmath].
• Ako je [inlmath]0 \le z \le 1[/inlmath] tada je [inlmath]T\cap S_z[/inlmath] trougao određen pravama [inlmath]x=0[/inlmath], [inlmath]x=y[/inlmath] i [inlmath]x+y=z[/inlmath]. Prave [inlmath]x=y[/inlmath] i [inlmath]x+y=z[/inlmath] se seku u tački [inlmath](z/2, z/2)[/inlmath]. Zbog toga je zgodno računati ovaj integral tako što ćemo [inlmath]x[/inlmath] pomerati od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]z/2[/inlmath], a [inlmath]y[/inlmath] pomerati između navedene dve prave. Stoga je za [inlmath]0 \le z \le 1[/inlmath] [dispmath]F_Z(z)=\int\limits_0^{z/2} \int\limits_x^{z-x} 15x^2y\, \mathrm dy\,\mathrm dx[/dispmath]
• Ako je [inlmath]2 \le z[/inlmath] tada znamo da je [inlmath]T\cap S_z = T[/inlmath], A takođe znamo da integral gustine verovatnoće po celom domenu mora biti [inlmath]1[/inlmath]. Stoga je [inlmath]F_Z(z)=1[/inlmath] za [inlmath]z\ge 2[/inlmath].
• Ako je [inlmath]1 \le z \le 2[/inlmath] tada je [inlmath]T\cap S_z[/inlmath] jedan nepravilan četvorougao. Nije zgodno integraliti po ovome (morali bismo da razdvajamo integrale), ali možemo iskoristiti činjenicu koju smo u prethodnoj tački ustanovili, da je [inlmath]\iint_{T} f_{X,Y}=1[/inlmath]. Stoga je [dispmath]\iint\limits_{T\cap S_z} f_{X,Y} + \iint\limits_{T\setminus (T\cap S_z)} f_{X,Y} = \iint\limits_{T} f_{X,Y}= 1.[/dispmath] Dakle, dovoljno je naći integral gustine verovatnoće po skupu [inlmath]T\setminus (T\cap S_z)[/inlmath] koji je trougao ograničen pravama [inlmath]y=1[/inlmath], [inlmath]x=y[/inlmath] i [inlmath]x+y=z[/inlmath]. Sada je zgodno pomerati [inlmath]y[/inlmath] od [inlmath]z/2[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath], a [inlmath]x[/inlmath] pomerati između navedenih prava. Time dobijamo da je za [inlmath]1 \le z < 2[/inlmath] [dispmath]F_Z(z)=1 - \int\limits_{z/2}^1 \int\limits_{z-y}^y 15x^2y\, \mathrm dx\,\mathrm dy[/dispmath]

Hvala na grafiku, ja sam ga loše nacrtala, pa je sve posle bilo loše.