Evo još jednog zadatka koji je na zvaničnoj listi neprijatelja.
Neka su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] realni brojevi veći od [inlmath]1[/inlmath]. Najveća vrednost parametra [inlmath]c[/inlmath], pri čemu važi [inlmath]c\in\mathbb{R}[/inlmath], za koju je zadovoljena nejednakost
[dispmath]\frac{1}{3+\log_ab}+\frac{1}{3+\log_ba}\geq c[/dispmath]
iznosi?
Tačan odgovor je [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath].

---

Ovde sam, pre svega, uvideo da se može iskoristiti svojstvo logaritma: [inlmath]\log_ba=\frac{1}{\log_ab}[/inlmath].
E, sad, upotrebim ja to, svedem sve na zajednički imenilac, i dobijem:
[dispmath]\frac{{\log}^2_ab+6\log_ab+1}{3{\log}^2_ab+10\log_ab+3}\geq c[/dispmath]
A odavde ni mrdnut'. Jeste da se u tekstu zadatka spominje maksimum, mada mislim da nam ovde prvi izvod nije od pomoći? Možda nisam čak ni trebao da svodim na zajednički imnilac?
Prezirem zadatke sa opštim slučajevima... ubeđen sam da služe samo kao sprava za mučenje (neka iz srednjeg veka, recimo...).

Obeleži jedan od logaritama sa x. Pošto su a i b realni brojevi veći od jedinice, možemo zaključiti da su navedeni logaritmi pozitivni, odnosno da je x>0. Navedeni izraz obeleži sa y, pa imamo funkciju [dispmath]y=\frac{1}{3+x}+\frac{x}{3x+1}[/dispmath] koju možemo napisati u pogodnijem obliku [dispmath]y=\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3x}{3x+1}=\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3x+1-1}{3x+1}=\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3}\cdot(1-\frac{1}{3x+1})=\frac{1}{3}+\frac{1}{3+x}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3x+1}[/dispmath]Pošto je x>0, jednostavno se dokazuje da je [dispmath]\frac{1}{3x+1}>\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3x+1}>0\Rightarrow\frac{1}{3x+1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3x+1}>0[/dispmath] Sledi da je [inlmath]y>\frac{1}{3}[/inlmath], a pošto je [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}y=\frac{1}{3}[/inlmath], sledi da je [inlmath]c\le \frac{1}{3}[/inlmath].

jans je napisao:Obeleži jedan od logaritama sa x. Pošto su a i b realni brojevi veći od jedinice, možemo zaključiti da su navedeni logaritmi pozitivni, odnosno da je x>0. Navedeni izraz obeleži sa y, pa imamo funkciju [dispmath]y=\frac{1}{3+x}+\frac{x}{3x+1}[/dispmath] koju možemo napisati u pogodnijem obliku [dispmath]y=\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3x}{3x+1}=\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3x+1-1}{3x+1}=\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3}\cdot(1-\frac{1}{3x+1})=\frac{1}{3}+\frac{1}{3+x}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3x+1}[/dispmath]

Ovo sam shvatio. Nego, gde se dedoše
[dispmath]\frac{1}{3}+\frac{1}{3+x}[/dispmath]
iz
[dispmath]\frac{1}{3}+\frac{1}{3+x}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3x+1}[/dispmath]
?
Ovo u daljem postupku ne vidim, pa mi ovaj deo i nije najjasniji. Sve ostalo razumem.

Tu jednu trećinu na momenat ignorišemo a posmatramo samo razlomke koji sadrže x. A nije ti jasno zato što sam, koristeći "copy-paste " načinio grešku. Trebe da bude[dispmath]\frac{1}{3+x}>\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3x+1}>0\Rightarrow\frac{1}{3+x}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3x+1}>0[/dispmath] izvini.

E, sada je sve kristalno jasno! Nema potrebe da se izvinjavaš; živ čovek greši.