Ovo su moji zadaci za popravni ispit iz matematike u 4. razredu elektrotehnika i računalstvo smjer elektrotehničar.
1.-4. znam riješit al dalje više ne.

No zamolio bih vas da ako je moguće napišete sve zadatke s detaljnim postupkom da mogu shvatit kako i što jer nije mi bitno naučit napamet i ispisat na testu, na usmenome dijelu ispita moram znati ne prolazi mi napamet naučeno.

Hvala

---

1. Izračunaj [inlmath]\frac{8!}{3!\cdot 5!}-\frac{9!}{2!\cdot 7!}=[/inlmath].

2. Nađi srednji član u razvoju binoma [inlmath]\left(\frac{1}{x}-\sqrt x\right)^{16}[/inlmath]

3. Broj [inlmath]z=-1-i[/inlmath] prikaži u trigonometrijskom obliku. Koristeći taj oblik izračunaj [inlmath]z^{10}[/inlmath].

4. U aritmetičkom nizu sedmi član je [inlmath]-5[/inlmath], a trideset i drugi član je [inlmath]70[/inlmath]. odredi sedamnaesti član tog niza.

5. Nađi sumu reda [inlmath]\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}+\cdots[/inlmath]

6. Odredi funkciju [inlmath]f\circ g[/inlmath] i njenu domenu ako je [inlmath]f\left(x\right)=\log x,\; g\left(x\right)=5-2x[/inlmath].

7. Nađi inverznu funkciju funkcije [inlmath]f\left(x\right)=4-\sqrt[3]{x-2}[/inlmath].

8. Deriviraj:[dispmath]\begin{array}{l} a)\;f\left(x\right)=\sqrt[3]x\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}\\ \\ b)\;g\left(x\right)=\frac{3x+5}{2\sin x}\end{array}[/dispmath]
9.
a) Deriviraj [inlmath]f\left(x\right)=-x^3+3x^2[/inlmath]. Odredi stacionarne točke.
b) Pomoću druge derivacije odredi ekstreme.
c) Odredi nultočke funkcije. Pomoću njih i točaka ekstrema skiciraj graf funkcije.

PC-Stručnjak je napisao:8. Deriviraj:[dispmath]a)\;f\left(x\right)=\sqrt[3]x\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}[/dispmath]

[dispmath]f\left(x\right)=\sqrt[3]x\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}=x^\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{3}{4}}[/dispmath]
Lakši je način da, pošto imamo jednake osnove u množenju, sada to svedemo na jednu osnovu, a eksponente saberemo i da tek onda od toga što smo dobili tražimo izvod:
[dispmath]f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}-\frac{3}{4}}=x^\frac{4-9}{12}=x^{-\frac{5}{12}}[/dispmath]
pa je izvod jednak
[dispmath]f'\left(x\right)=\left(x^{-\frac{5}{12}}\right)'=-\frac{5}{12}x^{-\frac{5}{12}-1}=-\frac{5}{12}x^{-\frac{17}{12}}[/dispmath]
Ali, ako se traži da se izraz ne svodi na jednu osnovu već da se traži izvod primenom formule za proizvod funkcija, može i tako:
[dispmath]f'\left(x\right)=\left(x^\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{3}{4}}\right)'=\left(x^\frac{1}{3}\right)'\cdot x^{-\frac{3}{4}}+x^\frac{1}{3}\cdot\left(x^{-\frac{3}{4}}\right)'=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}\cdot x^{-\frac{3}{4}}+x^\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{4}\right)x^{-\frac{3}{4}-1}[/dispmath]
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\cdot x^{-\frac{3}{4}}-\frac{3}{4}x^\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{7}{4}}=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}}-\frac{3}{4}x^{\frac{1}{3}-\frac{7}{4}}=\frac{1}{3}x^{-\frac{17}{12}}-\frac{3}{4}x^{-\frac{17}{12}}[/dispmath]
[dispmath]f'\left(x\right)=\left(\frac{1}{3}-\frac{3}{4}\right)x^{-\frac{17}{12}}=-\frac{5}{12}x^{-\frac{17}{12}}[/dispmath]
čime smo dobili isti rezultat kao i na prvi način.

PC-Stručnjak je napisao:[dispmath]b)\;g\left(x\right)=\frac{3x+5}{2\sin x}[/dispmath]

[dispmath]g'\left(x\right)=\left(\frac{3x+5}{2\sin x}\right)'=\frac{\left(3x+5\right)'\cdot 2\sin x-\left(3x+5\right)\left(2\sin x\right)'}{\left(2\sin x\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]g'\left(x\right)=\frac{3\cdot 2\sin x-\left(3x+5\right)\cdot 2\cos x}{4\sin^2 x}[/dispmath]
Podelimo i brojilac i imenilac sa [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]g'\left(x\right)=\frac{3\sin x-\left(3x+5\right)\cos x}{2\sin^2 x}[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:9.
a) Deriviraj [inlmath]f\left(x\right)=-x^3+3x^2[/inlmath]. Odredi stacionarne točke.

[dispmath]f'\left(x\right)=\left(-x^3+3x^2\right)'=-3x^2+3\cdot 2x=6x-3x^2[/dispmath]Stacionarne tačke su one u kojima je izvod jednak nuli. U tim tačkama funkcija „stagnira“.[dispmath]f'\left(x\right)=0[/dispmath][dispmath]6x-3x^2+0\quad /:3[/dispmath][dispmath]2x-x^2=0[/dispmath][dispmath]x\left(2-x\right)=0[/dispmath][dispmath]x=0\quad\lor\quad 2-x=0[/dispmath][dispmath]x=0\quad\lor\quad x=2[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:b) Pomoću druge derivacije odredi ekstreme.

[dispmath]f''\left(x\right)=\left[f'\left(x\right)\right]'=\left(6x-3x^2\right)'=6-3\cdot 2x=6-6x[/dispmath][dispmath]x=0\quad\Rightarrow\quad f''\left(0\right)=6-0=6\quad\Rightarrow\quad f''\left(0\right)>0[/dispmath][inlmath]\Rightarrow\quad[/inlmath] u tački [inlmath]x=0[/inlmath] imamo minimum; vrednost tog minimuma je [inlmath]f\left(0\right)=0[/inlmath]

[dispmath]x=2\quad\Rightarrow\quad f''\left(2\right)=6-12=-6\quad\Rightarrow\quad f''\left(2\right)<0[/dispmath][inlmath]\Rightarrow\quad[/inlmath] u tački [inlmath]x=2[/inlmath] imamo maksimum; vrednost tog maksimuma je [inlmath]f\left(2\right)=-2^3+3\cdot 2^2=-8+3\cdot 4\mathop=4[/inlmath]

PC-Stručnjak je napisao:c) Odredi nultočke funkcije. Pomoću njih i točaka ekstrema skiciraj graf funkcije.

[dispmath]f\left(x\right)=0[/dispmath][dispmath]-x^3+3x^2=0[/dispmath][dispmath]x^2\left(-x+3\right)=0[/dispmath][dispmath]x^2=0\quad\lor\quad -x+3=0[/dispmath][dispmath]x=0\quad\lor\quad x=3[/dispmath]Sad tebi još ostaje samo da skiciraš graf, što nije teško kad imaš sve ove elemente...

Pozz

PC-Stručnjak je napisao:6. Odredi funkciju [inlmath]f\circ g[/inlmath] i njenu domenu ako je [inlmath]f\left(x\right)=\log x,\; g\left(x\right)=5-2x[/inlmath].

Samo uvrstiš [inlmath]g(x)[/inlmath] u [inlmath]x[/inlmath] od [inlmath]f(x)[/inlmath] i gledaš domenu [inlmath]f(x)=\log(5-x)[/inlmath]

Pošto logaritam od [inlmath]0[/inlmath] nije moguće, pišeš uvjet
[dispmath]5-x\ne 0\\
x\ne 5[/dispmath]
i cili taj izraz mora bit veći od [inlmath]0[/inlmath]
[dispmath]5-x>0\\
-x>-5\\
x<5[/dispmath]
[dispmath]D(f)=\left<-\infty,5\right>[/dispmath]

^ Ispravka...

blake je napisao:Samo uvrstiš [inlmath]g(x)[/inlmath] u [inlmath]x[/inlmath] od [inlmath]f(x)[/inlmath] i gledaš domenu [inlmath]f(x)=\log(5-x)[/inlmath]

U argumentu logaritma treba da stoji [inlmath]5-2x[/inlmath], pošto je [inlmath]g\left(x\right)=5-2x[/inlmath].
I ta funkcija nije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath], već [inlmath]f\circ g\left(x\right)[/inlmath]. Dakle, treba da piše[dispmath]f\circ g\left(x\right)=\log\left(5-2x\right)[/dispmath]Samim tim, dobiće se uslov definisanosti [inlmath]x<\frac{5}{2}[/inlmath] (a ne [inlmath]x<5[/inlmath]), pa će domen biti [inlmath]\left(-\infty,\frac{5}{2}\right)[/inlmath].

PC-Stručnjak je napisao:1. Izračunaj [inlmath]\frac{8!}{3!\cdot 5!}-\frac{9!}{2!\cdot 7!}=[/inlmath].

[dispmath]\frac{8!}{3!\cdot 5!}- \frac{9!}{2! \cdot 7!}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{8\cdot 7\cdot{\color{blue}6}\cdot{\color{green}5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}}{{\color{green}5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}\cdot{\color{blue}(3\cdot 2)}}-\frac{9\cdot{\color{purple}8}\cdot{\color{red}7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}}{{\color{red}7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}\cdot{\color{purple}(2)}}=[/dispmath]
Skratiš sve što se može skratiti:
[dispmath]8\cdot 7-9\cdot 4=[/dispmath]
pomnožiš i oduzmeš:
[dispmath]\enclose{box}{20}[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:5. Nađi sumu reda [inlmath]\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}+\cdots[/inlmath]

Prvi član reda iznosi [inlmath]a_1=\sqrt{\frac{3}{2}}[/inlmath], a količnik reda (odnos dva susedna člana) iznosi [inlmath]q=\frac{2}{3}[/inlmath].
Sumu računamo po formuli [inlmath]S=a_1\frac{1-q^n}{1-q}[/inlmath], a pošto je ovde [inlmath]q<1[/inlmath], [inlmath]q^n[/inlmath] teži nuli kad [inlmath]n\to\infty[/inlmath].

Prema tome,[dispmath]S=\frac{a_1}{1-q}[/dispmath][dispmath]S=\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{1-\frac{2}{3}}[/dispmath][dispmath]S=3\sqrt{\frac{3}{2}}[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:7. Nađi inverznu funkciju funkcije [inlmath]f\left(x\right)=4-\sqrt[3]{x-2}[/inlmath].

[dispmath]f\left(x\right)=4-\sqrt[3]{x-2}[/dispmath][dispmath]\sqrt[3]{x-2}=4-f\left(x\right)[/dispmath][dispmath]x-2=\left[4-f\left(x\right)\right]^3[/dispmath][dispmath]x=\left[4-f\left(x\right)\right]^3+2[/dispmath]tj.[dispmath]f^{-1}\left(x\right)=\left(4-x\right)^3+2[/dispmath]

Daniel je napisao:^ Ispravka...

Ups

PC-Stručnjak je napisao:7. Nađi inverznu funkciju funkcije [inlmath]f\left(x\right)=4-\sqrt[3]{x-2}[/inlmath].

Inverzna funkcija se obeležava sa [inlmath]f^{-1}(x)[/inlmath], i za nju važi da [inlmath]f^{-1}(x)\circ f(x)=x[/inlmath], tj. ona "daje" prvobitan [inlmath]x[/inlmath] koji je ubačen u funkciju [inlmath]f()[/inlmath].

Inverznu funkciju možeš naći tako što ćeš vrednost neke funkcije u tački [inlmath]x[/inlmath] proglasiti za [inlmath]y[/inlmath]:
[dispmath]f(x)=y=4-\sqrt[3]{x-2}[/dispmath]
Sada samo zameniš mesta [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], i izraziš [inlmath]y[/inlmath] pomoću algebarskih transformacija:
[dispmath]x=4-\sqrt[3]{y-2}[/dispmath]
[dispmath]4-x=\sqrt [3]{y-2}[/dispmath]
[dispmath](4-x)^3=y-2[/dispmath]
[dispmath](4-x)^3+2=y[/dispmath]
I to je tražena funkcija:
[dispmath]\enclose{box}{f^{-1}(x)=(4-x)^3+2}[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:2. Nađi srednji član u razvoju binoma [inlmath]\left(\frac{1}{x}-\sqrt x\right)^{16}[/inlmath]

Pošto je binom dignut na [inlmath]16.[/inlmath] stepen, razvoj će imati [inlmath]17[/inlmath] članova. Srednji član u tom razvoju biće, znači, [inlmath]9.[/inlmath] član.
Formula za opšti član razvoja binoma glasi[dispmath]{n\choose k}a^{n-k}b^k[/dispmath]a u ovom slučaju je [inlmath]n=16[/inlmath] (stepen na koji dižemo binom), [inlmath]k=8[/inlmath] ([inlmath]k[/inlmath] je za [inlmath]1[/inlmath] manje od rednog broja člana), [inlmath]a=\frac{1}{x}[/inlmath] i [inlmath]b=-\sqrt x[/inlmath]:
[dispmath]{16\choose 8}\left(\frac{1}{x}\right)^{16-8}\left(-\sqrt x\right)^8[/dispmath]i to onda malo sredimo:[dispmath]\frac{16!}{\left(16-8\right)!\cdot 8!}\left(x^{-1}\right)^8\cdot\cancelto{1}{\left(-1\right)^8}\cdot\left(x^\frac{1}{2}\right)^8[/dispmath][dispmath]\frac{16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot\cancel{8!}}{8!\cdot\cancel{8!}}x^{-8}\cdot x^\frac{8}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{16\cdot\cancel{15}\cdot 14\cdot 13\cdot\cancel{12}\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{8\cdot 7\cdot\cancel 6\cdot\cancel 5\cdot 4\cdot\cancel 3\cdot\cancel 2}x^{-8+4}[/dispmath][dispmath]12870x^{-4}[/dispmath][dispmath]\frac{12870}{x^4}[/dispmath]