Zadaci za popravni ispit iz matematike 4. raz Elektro

od **ubavic** » Utorak, 02. Jul 2013, 22:41

PC-Stručnjak je napisao:4. U aritmetičkom nizu sedmi član je [inlmath]-5[/inlmath], a trideset i drugi član je [inlmath]70[/inlmath]. odredi sedamnaesti član tog niza.

[dispmath]-5=a_1+6x\\
70=a_1+31x[/dispmath]
Oduzmeš drugu jednačinu od prve.
[dispmath]70-(-5)=a_1+31x-a_1-6x\\
75=25x\\
x=3[/dispmath]
Izračunaš [inlmath]a_1[/inlmath], tako što ćeš [inlmath]x[/inlmath] da ubaciš u prvu jednačinu.
[dispmath]-5=a_1+6x\\
a_1=-5-6x\\
a_1=-5-18\\
a_1=-23[/dispmath]
I sada možemo da izračunamo [inlmath]a_{17}[/inlmath].
[dispmath]a_{17}=a_1+16x\\
a_{17}=-23+48\\
\enclose{box}{a_{17}=25}[/dispmath]
@Daniel: Izvini nisam video da si već rešio ovaj s inverznom funkcijom
Edit: sređene greške

od **ubavic** » Utorak, 02. Jul 2013, 23:41

PC-Stručnjak je napisao:3. Broj [inlmath]z=-1-i[/inlmath] prikaži u trigonometrijskom obliku. Koristeći taj oblik izračunaj [inlmath]z^{10}[/inlmath].

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja izgleda ovako [inlmath]z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)[/inlmath].
[inlmath]r[/inlmath] predstavlja modul nekog kompleksnog broja [inlmath]z=a+ib[/inlmath] i računa se kao [inlmath]r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/inlmath], to je u stvari udaljenot kompleksnog broja od početka koordinatnog sistema u kompleksnoj ravni [inlmath]\mathbb C[/inlmath].
[inlmath]\alpha[/inlmath] predstavlja argument kompleksnog broja [inlmath]\alpha=\arg(z)[/inlmath], tj. ugao koji modul zaklapa sa realnom osom.
Sada pronalazimo [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]\alpha[/inlmath].
[dispmath]r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/dispmath]
[dispmath]=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}[/dispmath]
[dispmath]=\sqrt{1+1}[/dispmath]
[dispmath]=\sqrt{2}[/dispmath]

[dispmath]\alpha=\mathrm{tg}^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)+\pi[/dispmath]
[dispmath]=\mathrm{tg}^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)+\pi[/dispmath]
[dispmath]=\frac{5 \pi}{4}=225^\circ[/dispmath]

[dispmath]z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)[/dispmath]
[dispmath]z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)[/dispmath]
Stepen kompleksnog broja dat je Moavrovom forulom
[dispmath]z^n=r^n(\cos n\alpha+i\sin n\alpha)[/dispmath]
[dispmath]z^{10}={\sqrt{2}}^{10}\left(\cos 10\cdot\frac{5\pi}{4}+i\sin 10\cdot\frac{5\pi}{4}\right)[/dispmath]
[dispmath]z^{10}=32\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)[/dispmath]
[dispmath]z^{10}=0+i32[/dispmath]
Edit sređene greške

od **PC-Stručnjak** » Sreda, 03. Jul 2013, 07:27

Hvala svima. U 9 cemo vidit kako ce ici na vjerojatno drugim zadacina istog tipa.
Hvala jos jednom!

od **Daniel** » Sreda, 03. Jul 2013, 08:13

Ajd, pa nek je sa srećom :goodluck:

od **PC-Stručnjak** » Sreda, 03. Jul 2013, 10:09

Evoga i danasnji veseli zadaci. Na ovo nisam racuno, ove sto su bili skoro isti rijesio ostatak nemam pojma. Ako je eto netko voljab rijesit pa da znamo jesmo tocno rijesili. Hvala.

Popravni ispit na ljetnom ispitnom roku, školska 2012./2013.[inlmath]\qquad[/inlmath]03.07.2013.

1. Odrediti koeficijent uz [inlmath]x^3[/inlmath] u [inlmath]\left(3+4x\right)^6[/inlmath]

2. Riješi jednadžbu [inlmath]\frac{\left(n+2\right)!}{n!}=110[/inlmath]

3. Broj [inlmath]z=-1+i[/inlmath] prikaži u trigonometrijskom obliku.

4. U aritmetičkom nizu peti član je [inlmath]19[/inlmath] a deseti [inlmath]39[/inlmath]. Odredi sumu prvih deset.

5. Nađi sumu reda [inlmath]2+\sqrt 2+1+\frac{\sqrt 2}{2}+\cdots[/inlmath]

6. Odredi područje definicije funkcije [inlmath]f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/inlmath].

7. Nađi inverznu funkciju funkcije [inlmath]f\left(x\right)=\frac{x-3}{x+1}[/inlmath].

8. Deriviraj:
[dispmath]\begin{array}{l}a)\;f\left(x\right)=x^3\cdot\sqrt[3]{x^2}\\ \\b)\;g\left(x\right)=\frac{\sin x}{x-\cos x}\end{array}[/dispmath]
9.
a) Odredi stacionarne točke funkcije [inlmath]f\left(x\right)=x^3-9x[/inlmath].
b) Pomoću druge derivacije odredi ekstreme.
c) Odredi nultočke funkcije. Pomoću njih i točaka ekstrema skiciraj graf funkcije.

od **Daniel** » Sreda, 03. Jul 2013, 10:38

Šta, već gotov test? :wtf:

Kad pre? Koliko je on uopšte trajao? :kojik:

PC-Stručnjak je napisao:1. Odrediti koeficijent uz [inlmath]x^3[/inlmath] u [inlmath]\left(3+4x\right)^6[/inlmath]

Opšti član razvoja:[dispmath]{6\choose k}3^{6-k}\left(4x\right)^k[/dispmath]
[inlmath]k=3:[/inlmath]
[dispmath]{6\choose 3}3^{6-3}\left(4x\right)^3=\frac{6!}{\left(6-3\right)!\cdot 3!}3^3\cdot 4^3x^3=\frac{\cancel 6\cdot 5\cdot 4\cdot\cancel{3\cdot 2}}{\cancel{3\cdot 2}\cdot\cancel{3\cdot 2}}27\cdot 64x^3=34560x^3[/dispmath]
Znači, koeficijent uz [inlmath]x^3[/inlmath] je [inlmath]34560[/inlmath].

PC-Stručnjak je napisao:2. Riješi jednadžbu [inlmath]\frac{\left(n+2\right)!}{n!}=110[/inlmath]

[dispmath]\frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)\cancel{n!}}{\cancel{n!}}=110[/dispmath][dispmath]n^2+3n+2=110[/dispmath][dispmath]n^2+3n-108=0[/dispmath][dispmath]n_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{9+432}}{2}=\frac{-3\pm 21}{2}[/dispmath][dispmath]\cancel{n_1=-12},\quad\underline{n_2=9}[/dispmath]Negativno rešenje odbacujemo, jer je faktorijel definisan samo za pozitivne brojeve (i nulu).

od **Daniel** » Sreda, 03. Jul 2013, 10:52

PC-Stručnjak je napisao:3. Broj [inlmath]z=-1+i[/inlmath] prikaži u trigonometrijskom obliku.

[dispmath]z=-1+i[/dispmath]
[dispmath]\rho=\sqrt{\left(-1\right)^2+1^2}=\sqrt 2[/dispmath]
[dispmath]\varphi=\mathrm{arctg}\:\frac{1}{-1}+\pi=-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4}[/dispmath]
Pošto je kompleksni broj u [inlmath]II[/inlmath] kvadrantu, na arkus tangens smo dodali [inlmath]\pi[/inlmath].
[dispmath]z=\sqrt 2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:4. U aritmetičkom nizu peti član je [inlmath]19[/inlmath] a deseti [inlmath]39[/inlmath]. Odredi sumu prvih deset.

[dispmath]\begin{array}{ll}
a_5=19 \\
a_{10}=39
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{ll}
a_1+4d=19 & \left(1\right) \\
a_1+9d=39 & \left(2\right)
\end{array}[/dispmath]
Od [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] oduzmemo [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:
[dispmath]5d=20\quad\Rightarrow\quad d=4[/dispmath]
Uvrštavanjem [inlmath]d=4[/inlmath] u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] ili [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] dobijamo i [inlmath]a_1=3[/inlmath].
[dispmath]S_{10}=\frac{10}{2}\left(a_1+a_{10}\right)=5\left(a_1+a_1+9d\right)=5\left(2a_1+9d\right)=5\left(2\cdot 3+9\cdot 4\right)=210[/dispmath]

od **Daniel** » Sreda, 03. Jul 2013, 11:08

PC-Stručnjak je napisao:5. Nađi sumu reda [inlmath]2+\sqrt 2+1+\frac{\sqrt 2}{2}+\cdots[/inlmath]

[dispmath]a_1=2,\quad q=\frac{1}{\sqrt 2}[/dispmath]
[dispmath]S=a_1\frac{1-\cancelto{0}{q^n}}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}=\frac{2}{1-\frac{1}{\sqrt 2}}=\frac{2\sqrt 2}{\sqrt 2-1}\cdot\frac{\sqrt 2+1}{\sqrt 2+1}=\frac{4+2\sqrt 2}{2-1}=2\left(2+\sqrt 2\right)[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:6. Odredi područje definicije funkcije [inlmath]f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/inlmath].

[dispmath]\sqrt{1-x}\ne 0\quad\Rightarrow\quad 1-x\ne 0\quad\Rightarrow\quad\underline{x\ne 1}[/dispmath][dispmath]1-x\ge 0\quad\Rightarrow\quad\underline{x\le 1}[/dispmath]Presek ova dva uslova je [inlmath]x<1[/inlmath], tj. [inlmath]D_f=\left(-\infty,1\right)[/inlmath]

od **Daniel** » Sreda, 03. Jul 2013, 11:28

PC-Stručnjak je napisao:7. Nađi inverznu funkciju funkcije [inlmath]f\left(x\right)=\frac{x-3}{x+1}[/inlmath].

[dispmath]y=\frac{x-3}{x+1}\quad /\cdot\left(x+1\right)[/dispmath]Uslov, [inlmath]x+1\ne 0[/inlmath], tj. [inlmath]x\ne -1[/inlmath][dispmath]y\left(x+1\right)=x-3[/dispmath][dispmath]xy+y=x-3[/dispmath]Na jednu stranu grupišemo sabirke koji sadrže [inlmath]x[/inlmath], na drugu sabirke koji ga ne sadrže:[dispmath]xy-x=-y-3[/dispmath][dispmath]x\left(y-1\right)=-y-3[/dispmath][dispmath]x=\frac{-y-3}{y-1}[/dispmath][dispmath]x=\frac{y+3}{1-y}[/dispmath][dispmath]f^{-1}\left(x\right)=\frac{x+3}{1-x}[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:8. Deriviraj:
[dispmath]a)\;f\left(x\right)=x^3\cdot\sqrt[3]{x^2}[/dispmath]

[dispmath]f\left(x\right)=x^3\cdot\sqrt[3]{x^2}=x^3\cdot x^\frac{2}{3}=x^{3+\frac{2}{3}}=x^\frac{11}{3}[/dispmath]
[dispmath]f'\left(x\right)=\left(x^\frac{11}{3}\right)'=\frac{11}{3}x^{\frac{11}{3}-1}=\frac{11}{3}x^{\frac{8}{3}}=\frac{11}{3}\sqrt[3]{x^8}[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:[dispmath]b)\;g\left(x\right)=\frac{\sin x}{x-\cos x}[/dispmath]

[dispmath]g'\left(x\right)=\left(\frac{\sin x}{x-\cos x}\right)'=\frac{\left(\sin x\right)'\left(x-\cos x\right)-\sin x\left(x-\cos x\right)'}{\left(x-\cos x\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]g'\left(x\right)=\frac{\cos x\left(x-\cos x\right)-\sin x\left[1-\left(-\sin x\right)\right]}{\left(x-\cos x\right)^2}=\frac{x\cos x-\cos^2 x-\sin x\left(1+\sin x\right)}{\left(x-\cos x\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]g'\left(x\right)=\frac{x\cos x-\cos^2 x-\sin x-\sin^2 x}{\left(x-\cos x\right)^2}=\frac{x\cos x-\sin x-1}{\left(x-\cos x\right)^2}[/dispmath]

od **PC-Stručnjak** » Sreda, 03. Jul 2013, 11:52

Hvala na riješenjima, neki valjaju neki ne, a neke sam i mogo riješit, ali nisam mislio da to. A šta ću, dobro sad je usmeni pomaknut u ponedjeljak, pa sjest i ove zadatke dobro provježbat.

Hvala još jednom.

A ispit je trajao koliko je nama trebalo ali ne više mislim od 90 minuta, u 1 h sam napiso šta sam znao, no sad nemogu vjerovat ... neke stvari sam znao ali ništa od njih -.-

Zadaci za popravni ispit iz matematike 4. raz Elektro

Re: Zadaci za popravni ispit iz matematike 4. raz Elektro

Sharuj ovu temu na:

Re: Zadaci za popravni ispit iz matematike 4. raz Elektro

Re: Zadaci za popravni ispit iz matematike 4. raz Elektro

Re: Zadaci za popravni ispit iz matematike 4. raz Elektro

Re: Zadaci za popravni ispit iz matematike 4. raz Elektro

Re: Zadaci za popravni ispit iz matematike 4. raz Elektro

Re: Zadaci za popravni ispit iz matematike 4. raz Elektro

Re: Zadaci za popravni ispit iz matematike 4. raz Elektro

Re: Zadaci za popravni ispit iz matematike 4. raz Elektro

Re: Zadaci za popravni ispit iz matematike 4. raz Elektro

Ko je OnLine