I mene buni kako to riješiti parcijalnom. Očito nikako. Kao rješenje za parcijalnu im stoji: [dispmath]\cos(x)\sin(x)-\frac{1}{2}\sin 2(x)+C[/dispmath]
Bolje ne razbijati glavu ovim
Index stranica ‹ MATEMATIČKA ANALIZA ‹ INTEGRALI
Parcijalna integracija
Pregled za štampanje • Pregled za štampanje svih postova u temi • 51 Posta
• Stranica 3 od 6 • 1, 2, 3, 4, 5, 6
Re: Parcijalna integracija
od eseper » Četvrtak, 11. Jul 2013, 11:45
Izvinjavam se, greška, nisam uveo metodu zamjene nego sam upravo napravio rastav na formulu za polovični argument i rješio na isti taj način.
I mene buni kako to riješiti parcijalnom. Očito nikako. Kao rješenje za parcijalnu im stoji: [dispmath]\cos(x)\sin(x)-\frac{1}{2}\sin 2(x)+C[/dispmath]
Bolje ne razbijati glavu ovim
I mene buni kako to riješiti parcijalnom. Očito nikako. Kao rješenje za parcijalnu im stoji: [dispmath]\cos(x)\sin(x)-\frac{1}{2}\sin 2(x)+C[/dispmath]
Bolje ne razbijati glavu ovim
Re: Parcijalna integracija
od Daniel » Četvrtak, 11. Jul 2013, 11:52
Jedino ako su mislili na ovakav način preko parcijalne:
[dispmath]\int\cos^2\!x\:\mathrm dx=\int\cos x\cos x\mathrm dx=[/dispmath]
[inlmath]u=\cos x\\
\mathrm du=-\sin x\mathrm dx\\
\mathrm dv=\cos x\mathrm dx\\
v=\sin x[/inlmath]
[dispmath]=\sin x\cos x+\int\sin^2\!x\:\mathrm dx=\sin x\cos x+\int\left(1-\cos^2\!x\:\right)\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\sin x\cos x+\int\mathrm dx-\int\cos^2\!x\:\mathrm dx=\sin x\cos x+x-\int\cos^2\!x\:\mathrm dx[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad 2\int\cos^2\!x\:\mathrm dx=\sin x\cos x+x[/dispmath][dispmath]\int\cos^2\!x\:\mathrm dx=\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{x}{2}+c[/dispmath]
što je, zapravo, isto rešenje kao i
[dispmath]\int\cos^2\!x\:\mathrm dx=\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{x}{2}+c[/dispmath]
[dispmath]\int\cos^2\!x\:\mathrm dx=\int\cos x\cos x\mathrm dx=[/dispmath]
[inlmath]u=\cos x\\
\mathrm du=-\sin x\mathrm dx\\
\mathrm dv=\cos x\mathrm dx\\
v=\sin x[/inlmath]
[dispmath]=\sin x\cos x+\int\sin^2\!x\:\mathrm dx=\sin x\cos x+\int\left(1-\cos^2\!x\:\right)\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\sin x\cos x+\int\mathrm dx-\int\cos^2\!x\:\mathrm dx=\sin x\cos x+x-\int\cos^2\!x\:\mathrm dx[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad 2\int\cos^2\!x\:\mathrm dx=\sin x\cos x+x[/dispmath][dispmath]\int\cos^2\!x\:\mathrm dx=\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{x}{2}+c[/dispmath]
što je, zapravo, isto rešenje kao i
[dispmath]\int\cos^2\!x\:\mathrm dx=\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{x}{2}+c[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Parcijalna integracija
od Daniel » Četvrtak, 11. Jul 2013, 11:59
Inače, njihovo rešenje za parcijalnu je očigledno pogrešno, jer je
[dispmath]\cos x\sin x-\frac{1}{2}\sin 2x+c=\cos x\sin x-\frac{1}{\cancel 2}\cdot\cancel 2\sin x\cos x+c=\cancel{\cos x\sin x}-\cancel{\sin x\cos x}+c=c[/dispmath]
[dispmath]\cos x\sin x-\frac{1}{2}\sin 2x+c=\cos x\sin x-\frac{1}{\cancel 2}\cdot\cancel 2\sin x\cos x+c=\cancel{\cos x\sin x}-\cancel{\sin x\cos x}+c=c[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Parcijalna integracija
od eseper » Četvrtak, 11. Jul 2013, 13:34
Isto sam i ja dobijao, zato mi je bilo čudno
Re: Parcijalna integracija
od eseper » Četvrtak, 11. Jul 2013, 14:37
Sljedeći:
[dispmath]\int\frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{e^x}\mathrm dx[/dispmath]
Parcijalnom integracijom sam uvrstio da je
[inlmath]u=\frac{1}{e^x}\dots\mathrm du=-\frac{1}{e^x}\mathrm dx;\\
\mathrm dv=\cos\left(\frac{x}{2}\right)\mathrm dx\dots v=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)[/inlmath]
Kao konačno rješenje dobio sam
[dispmath]I=-\frac{2}{3}\frac{\sin\frac{x}{2}}{e^x}-\frac{4}{3}\frac{\cos\frac{x}{2}}{e^x}[/dispmath]
[dispmath]\int\frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{e^x}\mathrm dx[/dispmath]
Parcijalnom integracijom sam uvrstio da je
[inlmath]u=\frac{1}{e^x}\dots\mathrm du=-\frac{1}{e^x}\mathrm dx;\\
\mathrm dv=\cos\left(\frac{x}{2}\right)\mathrm dx\dots v=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)[/inlmath]
Kao konačno rješenje dobio sam
[dispmath]I=-\frac{2}{3}\frac{\sin\frac{x}{2}}{e^x}-\frac{4}{3}\frac{\cos\frac{x}{2}}{e^x}[/dispmath]
Poslednji put menjao eseper dana Četvrtak, 11. Jul 2013, 14:38, izmenjena 3 puta
Re: Parcijalna integracija
od Daniel » Četvrtak, 11. Jul 2013, 17:20
Kanda si negde malo zabrljao... Parcijalna ti je dobra, sve je tako kako si napisao, pa onda ide
[dispmath]\frac{2\sin\frac{x}{2}}{e^x}+2\int\frac{\sin\frac{x}{2}}{e^x}\mathrm dx[/dispmath]
pa opet parcijalna
[inlmath]\begin{array}{ll}
u=\frac{1}{e^x} & \mathrm du=-\frac{\mathrm dx}{e^x}\\
\mathrm dv=\sin\frac{x}{2}\mathrm dx & v=-2\cos\frac{x}{2}
\end{array}[/inlmath]
[dispmath]\frac{2\sin\frac{x}{2}}{e^x}+2\left(-\frac{2\cos\frac{x}{2}}{e^x}-2\int\frac{\cos\frac{x}{2}}{e^x}\right)[/dispmath][dispmath]\int\frac{\cos\frac{x}{2}}{e^x}=\frac{2\sin\frac{x}{2}}{e^x}-\frac{4\cos\frac{x}{2}}{e^x}-4\int\frac{\cos\frac{x}{2}}{e^x}[/dispmath][dispmath]5\int\frac{\cos\frac{x}{2}}{e^x}=\frac{2\sin\frac{x}{2}}{e^x}-\frac{4\cos\frac{x}{2}}{e^x}+c[/dispmath][dispmath]\int\frac{\cos\frac{x}{2}}{e^x}=\frac{2}{5e^x}\left(\sin\frac{x}{2}-2\cos\frac{x}{2}\right)+c[/dispmath]
[dispmath]\frac{2\sin\frac{x}{2}}{e^x}+2\int\frac{\sin\frac{x}{2}}{e^x}\mathrm dx[/dispmath]
pa opet parcijalna
[inlmath]\begin{array}{ll}
u=\frac{1}{e^x} & \mathrm du=-\frac{\mathrm dx}{e^x}\\
\mathrm dv=\sin\frac{x}{2}\mathrm dx & v=-2\cos\frac{x}{2}
\end{array}[/inlmath]
[dispmath]\frac{2\sin\frac{x}{2}}{e^x}+2\left(-\frac{2\cos\frac{x}{2}}{e^x}-2\int\frac{\cos\frac{x}{2}}{e^x}\right)[/dispmath][dispmath]\int\frac{\cos\frac{x}{2}}{e^x}=\frac{2\sin\frac{x}{2}}{e^x}-\frac{4\cos\frac{x}{2}}{e^x}-4\int\frac{\cos\frac{x}{2}}{e^x}[/dispmath][dispmath]5\int\frac{\cos\frac{x}{2}}{e^x}=\frac{2\sin\frac{x}{2}}{e^x}-\frac{4\cos\frac{x}{2}}{e^x}+c[/dispmath][dispmath]\int\frac{\cos\frac{x}{2}}{e^x}=\frac{2}{5e^x}\left(\sin\frac{x}{2}-2\cos\frac{x}{2}\right)+c[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Parcijalna integracija
od eseper » Četvrtak, 11. Jul 2013, 18:31
Hvala, našao sam grešku. Umjesto (...) [inlmath]-4I[/inlmath], meni je bilo [inlmath]+4I[/inlmath], a odatle i trećine u rješenju 
Uvijek taj vražji znak... 
Uvijek taj vražji znak... Re: Parcijalna integracija
od Daniel » Četvrtak, 11. Jul 2013, 18:34
Proveri onda i zbog čega si dobio minus ispred sabirka s kosinusom... S tom greškom trebalo je da ti ispadne plus...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Parcijalna integracija
od eseper » Petak, 12. Jul 2013, 10:36
Našao sam uzrok...
Sljedeći zadatak naizgled pari kompliciran, ali ipak nije ako nisam šta pogriješio. Napisat ću cijeli postupak:
[dispmath]\int\mathrm{arctg}^2x\frac{\ln(\mathrm{arctg}\:x)}{x^2+1}\mathrm dx[/dispmath]
Supstitucija
[inlmath]t=\mathrm{arctg}\:x\\
\mathrm dt=\frac{1}{x^2+1}\mathrm dx[/inlmath]
[dispmath]\int t^2\ln(t)\mathrm dt[/dispmath]
Sada parcijalna integracija
[inlmath]u=\ln(t)\\
\mathrm du=\frac{1}{t}\mathrm dt\\
\mathrm dv=t^2\mathrm dt\\
v=\frac{1}{3}t^3[/inlmath]
[dispmath]t^3\frac{1}{3}\ln(t)-\frac{t^3}{9}+C=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{3}(\mathrm{arctg}\:x)^3\ln (\mathrm{arctg}\:x)-\frac{(\mathrm{arctg}\:x)^3}{9}+C[/dispmath]
Sljedeći zadatak naizgled pari kompliciran, ali ipak nije ako nisam šta pogriješio. Napisat ću cijeli postupak:
[dispmath]\int\mathrm{arctg}^2x\frac{\ln(\mathrm{arctg}\:x)}{x^2+1}\mathrm dx[/dispmath]
Supstitucija
[inlmath]t=\mathrm{arctg}\:x\\
\mathrm dt=\frac{1}{x^2+1}\mathrm dx[/inlmath]
[dispmath]\int t^2\ln(t)\mathrm dt[/dispmath]
Sada parcijalna integracija
[inlmath]u=\ln(t)\\
\mathrm du=\frac{1}{t}\mathrm dt\\
\mathrm dv=t^2\mathrm dt\\
v=\frac{1}{3}t^3[/inlmath]
[dispmath]t^3\frac{1}{3}\ln(t)-\frac{t^3}{9}+C=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{3}(\mathrm{arctg}\:x)^3\ln (\mathrm{arctg}\:x)-\frac{(\mathrm{arctg}\:x)^3}{9}+C[/dispmath]
Re: Parcijalna integracija
od Daniel » Petak, 12. Jul 2013, 11:02
Jeste, sve je tačno. Možeš još da izvučeš ispred zagrade [inlmath]\frac{\mathrm{arctg}^3 x}{9}[/inlmath] i da rezultat zapišeš u obliku[dispmath]\frac{1}{9}\mathrm{arctg}^3 x\left[3\ln\left(\mathrm{arctg}\:x\right)-1\right]+c[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 6 gostiju