[dispmath]f(x)=\frac{x}{2}+\arcsin\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)[/dispmath]




- slike nisu neke kvalitete, ali najbolje što sam mogao, vidi se nešto kad se zumira
- kao rezultat prve derivacije dobije se signum funkcija (?)
- ako je to točno, funkcija raste posvuda s prekidima u točkama [inlmath]x=\pm 1[/inlmath]

Uf, oćoravih od ove druge slike.

Kod kosih asimptota, kod određivanja parametra [inlmath]k[/inlmath], ne smeš pisati [inlmath]\cdots=\frac{1}{2}=\frac{x}{2}[/inlmath]
Takođe, kod određivanja parametra [inlmath]l[/inlmath], nije [inlmath]l=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[f\left(x\right)-x\right][/inlmath], već [inlmath]l=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[f\left(x\right)-{\color{red}k}x\right][/inlmath]... Mada si u produžetku ispravno uvrstio i dobio tačne kose asimptote.

Prvi izvod jeste [inlmath]f\:'\left(x\right)=\frac{1}{2}+\mathrm{sgn}\left(1-x^2\right)\cdot\frac{2}{x^2+1}[/inlmath], ali za [inlmath]x\ne -1[/inlmath] i [inlmath]x\ne 1[/inlmath]. U koraku [inlmath]f\:'\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{2\left(1-x^2\right)}{\sqrt{\left(x^2-1\right)^2}\cdot\left(x^2+1\right)}[/inlmath] treba da naglasiš da će u tačkama [inlmath]x=-1[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath] taj izraz biti neodređen, tj. u tim tačkama funkcija nije diferencijabilna. Pa tek zatim izvod napišeš preko signum funkcije i naglasiš da taj izraz važi van pomenutih tačaka.
Zatim, pogrešio si u koraku [inlmath]\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2+1}=\frac{x^2+1-{\color{red}2}}{2\left(x^2+1\right)}[/inlmath], kao i u koraku [inlmath]\frac{1}{2}+\frac{2}{x^2+1}=\frac{x^2+1+{\color{red}2}}{2\left(x^2+1\right)}[/inlmath]. Na interval [inlmath]\left\langle -1,1\right\rangle[/inlmath] ova greška nema uticaja, u njemu se zaista dobije da je funkcija monotono rastuća, dok se za [inlmath]\left\langle -\infty,-1\right\rangle\cup\left\langle 1,+\infty\right\rangle[/inlmath] dobije da će postojalti lokalni maksimum unutar [inlmath]\left\langle -\infty,-1\right\rangle[/inlmath], kao i lokalni minimum unutar [inlmath]\left\langle 1,+\infty\right\rangle[/inlmath].
U tačkama [inlmath]x=-1[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath] dobijaš „šiljke“, što je i u saglasnosti s činjenicom da u ovim tačkama prvi izvod nije definisan.

Sorry Pokušat ću nekako bolje to slikavati

Sve te detalje sam u brzini pogrješio. Kada mi dođe neki graf na ispitu, odvojit ću punih 45 min - 1 sat na njega i sve do u detalja