Da li je moguće vektor [inlmath]\vec{e_3}[/inlmath] napisati kao linearnu kombinaciju vektora [inlmath]\vec a,\:\vec b,\:\vec c[/inlmath]? U slučaju pozitivnog odgovora napišite kako. U slučaju negativnog odgovora dati obrazloženje. Zadatak rešiti pomoću elementarne transformacije baze.
[dispmath]a=\begin{bmatrix}
1\\
2\\
4
\end{bmatrix}\qquad b=\begin{bmatrix}
-8\\
1\\
7
\end{bmatrix}\qquad c=\begin{bmatrix}
3\\
1\\
-4
\end{bmatrix}[/dispmath]
(4. zadatak na prvoj strani u pdf-u)

Do sada sam imao uglavnom primere ako da je dato [inlmath]\vec{a_1}[/inlmath], [inlmath]\vec{a_2}[/inlmath], [inlmath]\vec{a_3}[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath] i pitanje da li se [inlmath]\vec b[/inlmath] moze izraziti kao linearna kombinacija vektora [inlmath]\vec{a_1}[/inlmath], [inlmath]\vec{a_2}[/inlmath] i [inlmath]\vec{a_3}[/inlmath]. Sada imam pitanje da li je moguce vektor [inlmath]\vec{e_3}[/inlmath] napisati kao lin. itd. Da li ja u zadatku treba da stanem pre uvrstavanja [inlmath]\vec{e_3}[/inlmath] sa [inlmath]\vec{a_1}[/inlmath], [inlmath]\vec{a_2}[/inlmath] ili [inlmath]\vec{a_3}[/inlmath] ili treba da uradim do kraja? Uradio sam zadatak ali dobijem na kraju razlomke tako da mi je malo sumnjivo

---

Dati su vektori [inlmath]\vec{a_1},\:\vec{a_2},\:\vec{a_3},\:\vec{b_1},\:\vec{b_2}[/inlmath]. Ispitati da li vektori [inlmath]\vec{b_1}[/inlmath] i [inlmath]\vec{b_2}[/inlmath] pripadaju vektorskom potprostoru generisanom vektorima [inlmath]\vec{a_1},\:\vec{a_2},\:\vec{a_3}[/inlmath]. Odgovor obrazložiti. Odrediti dimenziju potprostora koji je generisan vektorima [inlmath]\vec{a_1},\:\vec{a_2},\:\vec{a_3}[/inlmath].
[dispmath]a_1=\begin{bmatrix}
2\\
-1\\
3\\
4
\end{bmatrix}\quad a_2=\begin{bmatrix}
1\\
2\\
1\\
-1
\end{bmatrix}\quad a_3=\begin{bmatrix}
-1\\
0\\
1\\
0
\end{bmatrix}\quad b_1=\begin{bmatrix}
1\\
5\\
8\\
2
\end{bmatrix}\quad b_2=\begin{bmatrix}
-1\\
-5\\
2\\
6
\end{bmatrix}[/dispmath]
(prvi zadatak iz istog fajla)

Da li se ovo radi pomocu el. bazne?

johnnybgood je napisao:Da li je moguće vektor [inlmath]\vec{e_3}[/inlmath] napisati kao linearnu kombinaciju vektora [inlmath]\vec a,\:\vec b,\:\vec c[/inlmath]? U slučaju pozitivnog odgovora napišite kako. U slučaju negativnog odgovora dati obrazloženje. Zadatak rešiti pomoću elementarne transformacije baze.
[dispmath]a=\begin{bmatrix}
1\\
2\\
4
\end{bmatrix}\qquad b=\begin{bmatrix}
-8\\
1\\
7
\end{bmatrix}\qquad c=\begin{bmatrix}
3\\
1\\
-4
\end{bmatrix}[/dispmath]
(4. zadatak na prvoj strani u pdf-u)

Do sada sam imao uglavnom primere ako da je dato [inlmath]\vec{a_1}[/inlmath], [inlmath]\vec{a_2}[/inlmath], [inlmath]\vec{a_3}[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath] i pitanje da li se [inlmath]\vec b[/inlmath] moze izraziti kao linearna kombinacija vektora [inlmath]\vec{a_1}[/inlmath], [inlmath]\vec{a_2}[/inlmath] i [inlmath]\vec{a_3}[/inlmath]. Sada imam pitanje da li je moguce vektor [inlmath]\vec{e_3}[/inlmath] napisati kao lin. itd. Da li ja u zadatku treba da stanem pre uvrstavanja [inlmath]\vec{e_3}[/inlmath] sa [inlmath]\vec{a_1}[/inlmath], [inlmath]\vec{a_2}[/inlmath] ili [inlmath]\vec{a_3}[/inlmath] ili treba da uradim do kraja? Uradio sam zadatak ali dobijem na kraju razlomke tako da mi je malo sumnjivo

Treba da uradiš do kraja, jer ti je cilj da [inlmath]\vec{e_3}[/inlmath] izraziš samo preko [inlmath]\vec a[/inlmath], [inlmath]\vec b[/inlmath] i [inlmath]\vec c[/inlmath], a ne i preko nekog od baznih vektora.
Kao rezultat se dobije
[dispmath]\begin{array}{cc|c|c}
& \vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3} \\
\vec a & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} \\ \hline
\vec b & -\frac{12}{77} & \frac{16}{77} & -\frac{5}{77} \\ \hline
\vec c & -\frac{10}{77} & \frac{39}{77} & -\frac{17}{77}
\end{array}[/dispmath]
tj. [inlmath]\vec{e_3}=\frac{1}{7}\vec a-\frac{5}{77}\vec b-\frac{17}{77}\vec c[/inlmath]

johnnybgood je napisao:Dati su vektori [inlmath]\vec{a_1},\:\vec{a_2},\:\vec{a_3},\:\vec{b_1},\:\vec{b_2}[/inlmath]. Ispitati da li vektori [inlmath]\vec{b_1}[/inlmath] i [inlmath]\vec{b_2}[/inlmath] pripadaju vektorskom potprostoru generisanom vektorima [inlmath]\vec{a_1},\:\vec{a_2},\:\vec{a_3}[/inlmath]. Odgovor obrazložiti. Odrediti dimenziju potprostora koji je generisan vektorima [inlmath]\vec{a_1},\:\vec{a_2},\:\vec{a_3}[/inlmath].
[dispmath]a_1=\begin{bmatrix}
2\\
-1\\
3\\
4
\end{bmatrix}\quad a_2=\begin{bmatrix}
1\\
2\\
1\\
-1
\end{bmatrix}\quad a_3=\begin{bmatrix}
-1\\
0\\
1\\
0
\end{bmatrix}\quad b_1=\begin{bmatrix}
1\\
5\\
8\\
2
\end{bmatrix}\quad b_2=\begin{bmatrix}
-1\\
-5\\
2\\
6
\end{bmatrix}[/dispmath]
(prvi zadatak iz istog fajla)

Da li se ovo radi pomocu el. bazne?

Vektori [inlmath]\vec{b_1}[/inlmath] i [inlmath]\vec{b_2}[/inlmath] pripadaju vektorskom potprostoru definisanom vektorima [inlmath]\vec{a_1}[/inlmath], [inlmath]\vec{a_2}[/inlmath] i [inlmath]\vec{a_3}[/inlmath] ako se mogu izraziti kao linearna kombinacija vektora [inlmath]\vec{a_1}[/inlmath], [inlmath]\vec{a_2}[/inlmath] i [inlmath]\vec{a_3}[/inlmath]. U protivnom, ne pripadaju tom vektorskom potprostoru. Prema tome, zadatak se svodi na jednačine
[dispmath]\begin{array}{l}
\vec{a_1}x+\vec{a_2}y+\vec{a_3}z=\vec{b_1} \\
\vec{a_1}x+\vec{a_2}y+\vec{a_3}z=\vec{b_2}
\end{array}[/dispmath]
tj. na sisteme jednačina
[dispmath]\begin{array}{l}
2x+y-z=1 \\
-x+2y=5 \\
3x+y+z=8 \\
4x-y=2
\end{array}\quad\left(1\right)\qquad\qquad\begin{array}{l}
2x+y-z=-1 \\
-x+2y=-5 \\
3x+y+z=2 \\
4x-y=6
\end{array}\quad\left(2\right)[/dispmath]
Ako sistem [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] ima rešenja, tada vektor [inlmath]\vec{b_1}[/inlmath] pripada vektorskom potprostoru definisanom vektorima [inlmath]\vec{a_1}[/inlmath], [inlmath]\vec{a_2}[/inlmath] i [inlmath]\vec{a_3}[/inlmath]; a ako sistem nema rešenja, onda ne pripada;
Ako sistem [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] ima rešenja, tada vektor [inlmath]\vec{b_2}[/inlmath] pripada vektorskom potprostoru definisanom vektorima [inlmath]\vec{a_1}[/inlmath], [inlmath]\vec{a_2}[/inlmath] i [inlmath]\vec{a_3}[/inlmath]; a ako sistem nema rešenja, onda ne pripada.

U zadatku nije rečeno kojom metodom da rešavaš sistem, prema tome, možeš ga rešavati metodom po svom izboru – Kramerovim formulama, matricama, Gausovom eliminacijom, ili elementarnom baznom transformacijom.

Dimenzija potprostora definisanog vektorima [inlmath]\vec{a_1}[/inlmath], [inlmath]\vec{a_2}[/inlmath] i [inlmath]\vec{a_3}[/inlmath] jednaka je rangu matrice formirane od vektora [inlmath]\vec{a_1}[/inlmath], [inlmath]\vec{a_2}[/inlmath] i [inlmath]\vec{a_3}[/inlmath]. Znači, određivanje dimenzije tog potprostora svodi se na određivanje ranga matrice
[dispmath]\left[\begin{matrix}
2 & 1 & -1 \\
-1 & 2 & 0 \\
3 & 1 & 1 \\
4 & -1 & 0
\end{matrix}\right][/dispmath]

Hvala puno Daniele. To je to za sada, sad pravac na vezbanje