Evo još jednog, pa da vidimo je li sada potpuno točan
[dispmath]y''-4y'+3y=\frac{e^x}{e^x+1}[/dispmath]
Homogena jednadžba:
[dispmath]y_H=c_1e^{3x}+c_2e^x[/dispmath]
Konačno rješenje bit će u obliku
[dispmath]y=c_1(x)y_1+c_2(x)y_2[/dispmath]
Jednadžbe iz kojih ćemo to dobiti su
[dispmath]c_1'(x)e^{3x}+c_2e^x=0\\
c_1'(x)\left(e^{3x}\right)'+c_2'\left(e^x\right)'=\frac{e^x}{e^x+1}[/dispmath]
I sad kao i uvijek, iz prve izrazim [inlmath]c_1'(x)[/inlmath] ([inlmath]c_1'(x)=-c_2'(e^{-2x}[/inlmath])
Drugu jednadžbu deriviram i sredim, uvrstim ovaj [inlmath]c_1'(x)[/inlmath] u nju i dobijem ovo:
[inlmath]c_2=-\frac{1}{2}\int\frac{1}{e^x+1}[/inlmath]
konačno mi je to ispalo [dispmath]c_2(x)=-\frac{1}{2}\left(x-\ln\left|e^x+1\right|\right)+A[/dispmath]
Sličnim postupkom za [inlmath]c_1(x)[/inlmath] dobio sam [dispmath]c_1(x)=-\frac{1}{10}e^{-5x}+B[/dispmath]
Konačno rješenje ispalo mi je [dispmath]y=e^{3x}\left(-\frac{1}{10}e^{-5x}+B\right)+e^x\left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\ln\left|e^x+1\right|+A\right)[/dispmath]

[inlmath]c_2\left(x\right)[/inlmath] je OK (s tim što ne moraš pisati [inlmath]\ln\left|e^x+1\right|[/inlmath], već možeš i [inlmath]\ln\left(e^x+1\right)[/inlmath], budući da je [inlmath]e^x+1[/inlmath] uvek pozitivno), ali za [inlmath]c_1\left(x\right)[/inlmath] se ne dobija to što si ti dobio. Ako od toga što si dobio za [inlmath]c_1\left(x\right)[/inlmath] nađeš izvod, tj. [inlmath]c_1'\left(x\right)[/inlmath], on neće biti jednak onome što si prethodno dobio kao [inlmath]c_1'\left(x\right)[/inlmath].

Za [inlmath]c_1(x)[/inlmath] dobijem
[dispmath]c_1(x)=\frac{1}{2}\int\frac{1}{e^{3x}+e^{2x}}[/dispmath]

Sljedeći
[dispmath]y''-9y=e^{3x}\cos x[/dispmath]
Kao homogeno rješenje dobio sam
[dispmath]y_H=c_1e^{3x}+c_2 e^{-3x}[/dispmath]
Partikularno...
[dispmath]y_P=xe^{3x}[A\cos x+B\sin x][/dispmath]
Dobijem da je
[inlmath]A=1\\
B=0[/inlmath]
točno?

eseper je napisao:Za [inlmath]c_1(x)[/inlmath] dobijem
[dispmath]c_1(x)=\frac{1}{2}\int\frac{1}{e^{3x}+e^{2x}}[/dispmath]

Zaboravio si [inlmath]\mathrm dx[/inlmath]:
[dispmath]c_1\left(x\right)=\frac{1}{2}\int\frac{\color{red}\mathrm dx}{e^{3x}+e^{2x}}[/dispmath]
To je tačno rešenje za [inlmath]c_1\left(x\right)[/inlmath].

eseper je napisao:Sljedeći
[dispmath]y''-9y=e^{3x}\cos x[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]y_P=xe^{3x}[A\cos x+B\sin x][/dispmath]
Dobijem da je
[inlmath]A=1\\
B=0[/inlmath]
točno?

Nije. Prvo, u izrazu za partikularno rešenje imaš suvišno [inlmath]x[/inlmath], treba
[dispmath]y_P=e^{3x}\left(A\cos x+B\sin x\right)[/dispmath]
Verovatno si prepoznao slučaj kada su [inlmath]m\pm ni[/inlmath] koreni karakteristične jednačine, pa zato napisao to [inlmath]x[/inlmath], međutim, ovde je [inlmath]m=3,\;n=1[/inlmath], a [inlmath]3\pm i[/inlmath] nisu koreni karakteristične jednačine, već su koreni karakteristične jednačine realni, [inlmath]\pm 3[/inlmath]. Prema tome, za [inlmath]y_p[/inlmath] se ovde upotrebljava izraz u kojem ne figuriše [inlmath]x[/inlmath].
Međutim, sve i kad bi krenuo od tog izraza za [inlmath]y_p[/inlmath], u kojem figuriše [inlmath]x[/inlmath], ne bi se kao rešenje dobilo [inlmath]A=1,\;B=0[/inlmath]. Tako da, proveri postupak, imaš i tu neke greške.

Ispravno rešenje koje treba da se dobije, koristeći formulu [inlmath]y_P=e^{3x}\left(A\cos x+B\sin x\right)[/inlmath], iznosi [inlmath]A=-\frac{1}{37},\;B=\frac{6}{37}[/inlmath].

Pozdrav,

Evo jednog zadatka:
Resiti diferencijalnu jednacinu [inlmath]x^2y''-(a+5)xy'+6ay=\sin(\ln x)+x^b\ln(x),\;a,b\in\mathbb{R}[/inlmath].

Evo mog resenja::

Posto je ovo obicna linearna diferencijalna jednacina drugog reda, njeno opste resenje dobijamo kao zbir partikularnog resenja ([inlmath]y_p[/inlmath]) i resenja njene odgovarajuce homogene jednacine ([inlmath]y_h[/inlmath]), tj. [inlmath]y=y_p+y_h[/inlmath].
[dispmath]x^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2}-(a+5)x\frac{\partial y}{\partial x}+6ay=0[/dispmath]
(pp) [inlmath]y_h\propto x^\mu[/inlmath] za neku konstantu [inlmath]\mu\in\mathbb{R}[/inlmath], onda je
[dispmath]x^2\frac{\partial^2(x^\mu)}{\partial x^2}-(a+5)x\frac{\partial(x^\mu)}{\partial x}+6a(x^\mu)=0[/dispmath][dispmath]\left.\mu^2x^\mu-(a+6)\mu x^\mu+6ax^\mu=0\quad\right/:x^\mu,\;x\neq0\quad(1)[/dispmath][dispmath](\mu-a)(\mu-6)=0\;\Rightarrow\;\mu_1=a,\;\mu_2=6[/dispmath]
Uvrstavanjem prethodnog u [inlmath](1)[/inlmath] dobijamo da je
[dispmath]y_h(x)=c_1x^6+c_2x^a;\;c_1,c_2\in\mathbb{R}[/dispmath]
Sada dobijamo
[dispmath]W(x)=\begin{vmatrix}
x^6 & x^a\\
6x^5 & ax^{a-1}
\end{vmatrix}=(a-6)x^{a+5}[/dispmath]
Deljenjem pocetne jednacine sa [inlmath]x^2[/inlmath] dobijamo
[dispmath]\frac{\partial^2y}{\partial x^2}-\frac{(a+5)\frac{\partial y}{\partial x}}{x}+\frac{6ay}{x^2}=\frac{\sin(\ln x)+x^b\ln x}{x^2}[/dispmath]
Ako je [inlmath]y_1(x)=x^6,\;y_2(x)=x^a,\;p(x)=\frac{\sin(\ln x)+x^b\ln x}{x^2}[/inlmath], onda je
[dispmath]q_1(x)=\int\frac{p(x)y_2(x)}{W(x)}\mathrm dx,\;q_2(x)=\int\frac{p(x)y_1(x)}{W(x)}\mathrm dx[/dispmath]
Pa dobijamo
[dispmath]y_p(x)=q_1(x)y_1(x)+q_2(x)y_2(x)[/dispmath]
Pa je na kraju opste resenje date diferencijalne jednacine
[dispmath]y(x)=c_1x^6+c_2x^a+q_1(x)y_1(x)+q_2(x)y_2(x)[/dispmath]

apples je napisao:Posto je ovo obicna linearna diferencijalna jednacina drugog reda

Tri primedbe za početak:

• Odgovarajuća (pripadajuća) homogena jednačina se naziva Ojlerova i to bi trebalo naglasiti, da je korisnici lakše prepoznaju.
• Ovo je nehomogena linearna diferencijalna jednačina drugog reda koja se svodi na nehomogenu linearnu diferencijalnu jednačinu drugog reda sa konstantnim koeficijentima. I nikako je ne bih nazvao "obična".
• Potrebno je naglasiti da je korišćen Vronskijan (Vronskijeva determinanta).

Ovo, molim te, nemoj shvatiti kao kritiku.
Sve ostalo što je napisano u tvom postu (ponavljam: nedostaju samo objašnjenja oznaka) po mom mišljenju je (na prvi pogled) na nivou tutorijala.
Proverićemo

Zbog primedbi je i "okacen" zadatak, izmedju ostalog.
E sad, jedno pitanje. Da li je korektno ostaviti rezultat onakvim ili moram do kraja da izracunam sve?

Naravno da mora do kraja.
Uz diskusiju parametara.
Šta se dešava, na primer, za [inlmath]a=6[/inlmath]?
Ili, za [inlmath]b=0[/inlmath]?
Dao sam proizvoljne vrednosti, opšte rešenje d.j. mora zavisiti od vrednosti parametara.
Nekada važi za svaku vrednost paramet(a)ra, nekada za njihove pojedine vrednosti.
Sve to mora da se navede u rešenju i u postupku izrade zadatka.