odrediti
[dispmath]\lim_{n\to\infty }\left(\frac{6n}{6n+5}\right)^{2n+1}[/dispmath]

Ovde treba da iskoristiš onaj poznati limes,
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e[/dispmath]
Znači, treba taj zadati izraz da nekako svedeš na taj oblik, u kome će, na mestima gde se u gornjem izrazu nalazi [inlmath]x[/inlmath], nalaziti neka veličina koja teži ka [inlmath]\infty[/inlmath].
Za početak, možeš i brojilac i imenilac da podeliš sa [inlmath]6n[/inlmath], nakon čega ti se sve „seli“ u imenilac jer brojilac ostaje [inlmath]1[/inlmath], što pojednostavljuje postupak.

Imali smo već slične zadatke, pogledaj, recimo, ovaj...

Na kraju rešenje treba da ti ispadne [inlmath]e^{-\frac{5}{3}}[/inlmath].

[dispmath]\left(\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{6n}{5}}}\right)^{2n+1}[/dispmath] ovde sam stao pa mi bas nije jasno kako dalje, video sam taj zadatak ali o5 mi bas nije jasno

E, dobro. Sad, kao što sam ti napisao, ceo taj stepen „prebaciš“ u imenilac, po onom pravilu [inlmath]\left(\frac{1}{a}\right)^b=\frac{1^b}{a^b}=\frac{1}{a^b}[/inlmath]. Znači,
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{\frac{6n}{5}}\right)^{2n+1}}[/dispmath]
a to onda možeš, koristeći pravilo [inlmath]\frac{1}{a^b}=a^{-b}[/inlmath], napisati kao
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{6n}{5}}\right)^{-\left(2n+1\right)}[/dispmath]
Sad treba tu da prepoznamo onaj oblik [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x[/inlmath]. Ako izraz [inlmath]\left(1+\frac{1}{x}\right)[/inlmath] uporediš s izrazom [inlmath]\left(1+\frac{1}{\frac{6n}{5}}\right)[/inlmath], videćeš da umesto [inlmath]x[/inlmath] stoji [inlmath]\frac{6n}{5}[/inlmath]. Kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath], tada i [inlmath]\frac{6n}{5}\to\infty[/inlmath], prema tome, taj izraz je idealan za svođenje na oblik [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x[/inlmath], koji je jednak [inlmath]e[/inlmath].
Ako bismo [inlmath]\left(1+\frac{1}{\frac{6n}{5}}\right)[/inlmath] mogli nekako da dignemo na onaj broj koji je u imeniocu razlomka u drugom sabirku, tj. na [inlmath]\frac{6n}{5}[/inlmath], tada bismo dobili izraz koji će za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] težiti broju [inlmath]e[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{6n}{5}}\right)^\frac{6n}{5}=e[/dispmath]
Ali, izraz do kog smo u zadatku došli ne glasi tako, već glasi
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{6n}{5}}\right)^{-\left(2n+1\right)}[/dispmath]
tj. nije dignut na [inlmath]\frac{6n}{5}[/inlmath], već je dignut na [inlmath]-\left(2n+1\right)[/inlmath]. Ali, ono što sad možemo da uradimo, to je da izraz u zagradi dignemo na [inlmath]1[/inlmath] (time se vrednost izraza u zagradi ne menja), a to [inlmath]1[/inlmath] napišemo kao [inlmath]\frac{6n}{5}\cdot\frac{5}{6n}[/inlmath], pa sve to zatim dignemo na [inlmath]-\left(2n+1\right)[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{6n}{5}}\right)^{\frac{6n}{5}\cdot\frac{5}{6n}}\right]^{-\left(2n+1\right)}[/dispmath]
Koristeći identitet [inlmath]\left(a^b\right)^c=a^{b\cdot c}[/inlmath] ono [inlmath]\frac{5}{6n}[/inlmath] u eksponentu može da pređe u isti nivo eksponenta sa [inlmath]-\left(2n+1\right)[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{6n}{5}}\right)^{\frac{6n}{5}}\right]^{-\frac{5}{6n}\cdot\left(2n+1\right)}[/dispmath]
i, unutar uglaste zagrade smo dobili izraz koji teži [inlmath]e[/inlmath] kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath]. Prema tome, njega zamenimo sa [inlmath]e[/inlmath], a limes pređe u eksponent:
[dispmath]e^{-\lim\limits_{n\to\infty}\frac{5}{6n}\cdot\left(2n+1\right)}[/dispmath]
što ti dalje, pretpostavljam, neće biti problem da rešiš...