Zdravo! Da krenemo od pocetka:

Znaci, je l' se ovako ispituje f-ja:

1) Domen - Najveca oblast na kojoj je f-ja definisana.
2) Odredjuje se kako se f-ja ponasa (limes) na ivicama oblasti definisanosti.
3) Ispituje se da li je f-ja parna/neparna/periodicna.
4) Odredjuju se nule i znak f-je.
5) Ekstremne vrednosti f-je, ako je izvod f-je[inlmath]>0[/inlmath], f-ja raste; izvod[inlmath]<0[/inlmath], f-ja opada. A ako je izvod[inlmath]=0[/inlmath] onda f-ja ima lokalni ekstremum (min. ili max.). E sad, kako se odredjuje da li je min. ili max.?
6) Drugi izvod f-je[inlmath]>0[/inlmath], f-ja je konveksna, ako je drugi izvod[inlmath]<0[/inlmath] f-ja je Konkavna

Ne znam da l' treba jos nesto?

PocetnikSRB je napisao:1) Domen - Najveca oblast na kojoj je f-ja definisana.

Ne razumem ovo „najveća“. Znači li to da manje oblasti na kojima je funkcija definisana ne spadaju u domen?

PocetnikSRB je napisao:2) Odredjuje se kako se f-ja ponasa (limes) na ivicama oblasti definisanosti.

Pod ovim se najčešće podrazumevaju asimptote. Na ivicama oblasti definisanosti ispituju se vertikalne asimptote, ali treba ispitati i ponašanje funkcije kad [inlmath]x\to-\infty[/inlmath] ili [inlmath]x\to+\infty[/inlmath], i to prvo horizontalne asimptote, pa ako one ne postoje, tj. ako se za vrednost funkcije u beskonačnosti dobije [inlmath]\pm\infty[/inlmath], onda se ispituju kose asimptote.

PocetnikSRB je napisao:3) Ispituje se da li je f-ja parna/neparna/periodicna.
4) Odredjuju se nule i znak f-je.

PocetnikSRB je napisao:5) Ekstremne vrednosti f-je, ako je izvod f-je[inlmath]>0[/inlmath], f-ja raste; izvod[inlmath]<0[/inlmath], f-ja opada. A ako je izvod[inlmath]=0[/inlmath] onda f-ja ima lokalni ekstremum (min. ili max.).

Da, s tim da u određivanje ekstremnih vrednosti spada određivanje minimuma i maksimuma, a u ispitivanje monotonosti spada to da li raste ili opada.
Napomenuo bih ovde ono što se često previđa, a to je da postoje slučajevi kada je prvi izvod u nekoj tački nula, a da ta tačka ipak nije ekstremna vrednost. Može se desiti da je funkcija na nekom intervalu jednaka konstanti – tada je prvi izvod na celom tom intervalu jednak nuli, ali to nije ekstremna vrednost. Drugo, to može biti i specijalni slučaj prevojne tačke (granica između konkavnog i konveksnog dela) kada je prvi izvod u njoj jednak nuli, a tipičan primer je tačka [inlmath]x=0[/inlmath] kod funkcije [inlmath]y=x^3[/inlmath]:


Vidimo sa grafika da je u [inlmath]x=0[/inlmath] nagib funkcije jednak nuli, pa je samim tim jednak nuli i prvi izvod (što se i analitički može pokazati, jer je prvi izvod jednak [inlmath]3x^2[/inlmath], pa će u nuli on iznositi [inlmath]3\cdot0^2[/inlmath], tj. [inlmath]0[/inlmath]), ali tačka [inlmath]x=0[/inlmath] nije ekstremna vrednost, već prevojna tačka. U prevojnoj tački, u opštem slučaju, prvi izvod ne mora biti nula, može imati bilo koju vrednost, ali je drugi izvod obavezno nula. Ovo je poseban slučaj prevojne tačke kada su i prvi i drugi izvod jednaki nuli.

PocetnikSRB je napisao:E sad, kako se odredjuje da li je min. ili max.?

Na osnovu drugog izvoda. Ako je drugi izvod manji od nule, radi se o maksimumu, a ako je veći od nule, radi se o minimumu. U slučaju da je drugi izvod jednak nuli, radi se o već pomenutoj prevojnoj tački.

PocetnikSRB je napisao:6) Drugi izvod f-je[inlmath]>0[/inlmath], f-ja je konveksna, ako je drugi izvod[inlmath]<0[/inlmath] f-ja je Konkavna

Jeste, a ako je drugi izvod jednak nuli, onda je to prevojna tačka. (Mada, drugi izvod može biti nula i u intervalu u kom je funkcija linearna!)

PocetnikSRB je napisao:Ne znam da l' treba jos nesto?

Ne treba više ništa, to je sve. Sad samo na osnovu svega što si prethodno ispitao – nacrtaš grafik za konkretnu funkciju.

Daniel je napisao:Ne razumem ovo „najveća“. Znači li to da manje oblasti na kojima je funkcija definisana ne spadaju u domen?

A jes, lose sam napisao Mislio sam na maksimalan interval (tj. maksimalan skup intervala) na kojem je f-ja definisana.

Pod ovim se najčešće podrazumevaju asimptote. Na ivicama oblasti definisanosti ispituju se vertikalne asimptote, ali treba ispitati i ponašanje funkcije kad [inlmath]x\to-\infty[/inlmath] ili [inlmath]x\to+\infty[/inlmath], i to prvo horizontalne asimptote, pa ako one ne postoje, tj. ako se za vrednost funkcije u beskonačnosti dobije [inlmath]\pm\infty[/inlmath], onda se ispituju kose asimptote.

Aha, e dobro.

Daniel je napisao:Da, s tim da u određivanje ekstremnih vrednosti spada određivanje minimuma i maksimuma, a u ispitivanje monotonosti spada to da li raste ili opada.
Napomenuo bih ovde ono što se često previđa, a to je da postoje slučajevi kada je prvi izvod u nekoj tački nula, a da ta tačka ipak nije ekstremna vrednost. Može se desiti da je funkcija na nekom intervalu jednaka konstanti – tada je prvi izvod na celom tom intervalu jednak nuli, ali to nije ekstremna vrednost. Drugo, to može biti i specijalni slučaj prevojne tačke (granica između konkavnog i konveksnog dela) kada je prvi izvod u njoj jednak nuli, a tipičan primer je tačka [inlmath]x=0[/inlmath] kod funkcije [inlmath]y=x^3[/inlmath]:

prevojna_tacka.png

Vidimo sa grafika da je u [inlmath]x=0[/inlmath] nagib funkcije jednak nuli, pa je samim tim jednak nuli i prvi izvod (što se i analitički može pokazati, jer je prvi izvod jednak [inlmath]3x^2[/inlmath], pa će u nuli on iznositi [inlmath]3\cdot0^2[/inlmath], tj. [inlmath]0[/inlmath]), ali tačka [inlmath]x=0[/inlmath] nije ekstremna vrednost, već prevojna tačka. U prevojnoj tački, u opštem slučaju, prvi izvod ne mora biti nula, može imati bilo koju vrednost, ali je drugi izvod obavezno nula. Ovo je poseban slučaj prevojne tačke kada su i prvi i drugi izvod jednaki nuli.

Jasno, super!

Daniel je napisao:Na osnovu drugog izvoda. Ako je drugi izvod manji od nule, radi se o maksimumu, a ako je veći od nule, radi se o minimumu. U slučaju da je drugi izvod jednak nuli, radi se o već pomenutoj prevojnoj tački.

PocetnikSRB je napisao:6) Drugi izvod f-je[inlmath]>0[/inlmath], f-ja je konveksna, ako je drugi izvod[inlmath]<0[/inlmath] f-ja je Konkavna

Jeste, a ako je drugi izvod jednak nuli, onda je to prevojna tačka. (Mada, drugi izvod može biti nula i u intervalu u kom je funkcija linearna!)

PocetnikSRB je napisao:Ne znam da l' treba jos nesto?

Ne treba više ništa, to je sve. Sad samo na osnovu svega što si prethodno ispitao – nacrtaš grafik za konkretnu funkciju.

E hvala mnogo! Da, jos samo da nacrtam

PocetnikSRB je napisao:

Daniel je napisao:Ne razumem ovo „najveća“. Znači li to da manje oblasti na kojima je funkcija definisana ne spadaju u domen?

A jes, lose sam napisao Mislio sam na maksimalan interval (tj. maksimalan skup intervala) na kojem je f-ja definisana.

Aha, sad razumem šta si hteo reći. Ma, kažeš onda lepo, skup svih intervala... Ništa najveći, ništa maksimalan...