Moze li neko da mi pomogne oko metode neodredjenih koeficijenata kod dif jednacina viseg reda.Meni u principu ova pravila za neodredjene koeficijente nisu bas najjasnija kad se sta koristi.Evo par primera koji me muce [inlmath]y'''-3y''+4y'-2y=e^x+\cos x[/inlmath] , i drugi primer [inlmath]y'''-y''-y'+y=3x+(24x-4)e^x[/inlmath].Kod ovih primera znam da odredim opste resenje homogene jednacine al me buni odredivanje partikularnih resenja u oba slucaja tj npr kod drugog primera za [inlmath]F(x)=3x[/inlmath] i [inlmath]F(x)=(24x-4)e^x[/inlmath] kao i kod prvog ista stvar.Ako bi neko mogao da mi odredi partikularna resenja kod ovih primera i objasni kad sta treba da koristim od onih pravila za neodradjene koeficijente ,ostatak jednacine znam da resim.I ako bi neko mogao da resi ovu dif jednacinu sa parametrom [inlmath]y''+2(1-a)y'+(1-2a)y=2e^{-x}[/inlmath] malo detaljnije al bitnije mi ovo prvo sto sam pitao.Unapred zahvalan

Moze li neko da pomogne sutra mi je kolokvijum ,molim vas!!

Prvo, rules.php#f0r15

Drugo, uvek je mudro postaviti pitanje malo ranije, a ne dva dana pred kolokvijum. Pogotovo kad imaš ovoliko pitanja.

U ovom tutorijalu ti je dato sve što ti treba za rešavanje tih diferencijalnih jednačina.
Konkretno, za prvi zadatak,
[dispmath]y'''-3y''+4y'-2y=e^x+\cos x[/dispmath]
odredio si, dakle, opšte rešenje homogene jednačine, ono iznosi
[dispmath]y_H=e^x\left(c_1\cos x+c_2\sin x\right)=c_1e^x\cos x+c_2e^x\sin x[/dispmath]
Radi određivanja partikularnog rešenja, funkciju [inlmath]f\left(x\right)=e^x+\cos x[/inlmath] rastaviš na dve funkcije: [inlmath]f_1\left(x\right)=e^x[/inlmath] i [inlmath]f_2\left(x\right)=\cos x[/inlmath].

Zatim za funkciju [inlmath]f_1\left(x\right)=e^x[/inlmath] radiš prema ovom uputstvu iz pomenutog tutorijala:

eseper je napisao:

• [inlmath]f(x)=e^{mx}P_n(x)[/inlmath]

- ako [inlmath]m[/inlmath] nije korijen karakteristične jednadžbe: [inlmath]y_P=e^{mx}Q_n(x)[/inlmath]

- ako je [inlmath]m[/inlmath] korijen karakteristične jednadžbe: [inlmath]y_P=x^{\alpha}e^{mx}Q_n(x)[/inlmath], gdje je [inlmath]\alpha[/inlmath] kratnost od [inlmath]m[/inlmath] kao korijena karakteristične jednadžbe

Ovde je [inlmath]m=1[/inlmath] i to jeste koren karakteristične jednačine; takođe je [inlmath]\;n=0,\;\alpha=1[/inlmath]:
[dispmath]y_{p1}=xe^x\underbrace{Q_0\left(x\right)}_A=Axe^x[/dispmath][dispmath]y_{p1}'=\left(Axe^x\right)'=Ae^x+Axe^x=A\left(x+1\right)e^x[/dispmath][dispmath]y_{p1}''=\left[A\left(x+1\right)e^x\right]'=Ae^x+A\left(x+1\right)e^x=A\left(x+2\right)e^x[/dispmath][dispmath]y_{p1}'''=\left[A\left(x+2\right)e^x\right]'=Ae^x+A\left(x+2\right)e^x=A\left(x+3\right)e^x[/dispmath]
Uvrstimo u [inlmath]y_{p1}'''-3y_{p1}''+4y_{p1}'-2y_{p1}=e^x[/inlmath], radi određivanja koeficijenta [inlmath]A[/inlmath]:
[dispmath]A\left(x+3\right)\cancel{e^x}-3A\left(x+2\right)\cancel{e^x}+4A\left(x+1\right)\cancel{e^x}-2Ax\cancel{e^x}=\cancel{e^x}[/dispmath][dispmath]A=1[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\underline{y_{p1}=xe^x}[/dispmath]

Za funkciju [inlmath]f_2\left(x\right)=\cos x[/inlmath] radiš prema sledećem uputstvu:

eseper je napisao:

• [inlmath]f(x)=e^{mx}[P_1(x)\cos nx+P_2(x)\sin nx][/inlmath]

- ako [inlmath]m\pm ni[/inlmath] nisu korijeni karakteristične jednadžbe: [inlmath]y_P=e^{mx}[Q_1(x)\cos nx+Q_2(x)\sin nx][/inlmath] gdje je [inlmath]\mathrm{st}(Q_1)=\mathrm{st}(Q_2)=\max\left(\mathrm{st}(P_1),\mathrm{st}(P_2)\right)[/inlmath]

- ako su [inlmath]m\pm ni[/inlmath] korijeni karakteristične jednadžbe: [inlmath]y_P=xe^{mx}[Q_1(x)\cos nx+Q_2(x)\sin nx][/inlmath]

[inlmath]m=0,\;n=1\quad\Rightarrow\quad m\pm ni=\pm i[/inlmath], što nisu koreni karakteristične jednačine, pri čemu je [inlmath]\mathrm{st}(Q_1)=\mathrm{st}(Q_2)=\max\left(\mathrm{st}(P_1),\mathrm{st}(P_2)\right)=0[/inlmath], tako da će drugo partikularno rešenje biti:
[dispmath]y_{p2}=e^{0\cdot x}\left(A\cos x+B\sin x\right)=A\cos x+B\sin x[/dispmath][dispmath]y_{p2}'=B\cos x-A\sin x[/dispmath][dispmath]y_{p2}''=-A\cos x-B\sin x[/dispmath][dispmath]y_{p2}'''=A\sin x-B\cos x[/dispmath]
Uvrstimo u jednačinu [inlmath]y_{p2}'''-3y_{p2}''+4y_{p2}'-2y_{p2}=\cos x[/inlmath], radi određivanja koeficijenata [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]:
[dispmath]A\sin x-B\cos x-3\left(-A\cos x-B\sin x\right)+4\left(B\cos x-A\sin x\right)-2\left(A\cos x+B\sin x\right)=\cos x[/dispmath][dispmath]\left(A+3B-4A-2B\right)\sin x=\left(B-3A-4B+2A+1\right)\cos x[/dispmath][dispmath]\left(B-3A\right)\sin x=\left(-A-3B+1\right)\cos x[/dispmath][dispmath]B-3A=0\\
-A-3B+1=0[/dispmath][dispmath]A=\frac{1}{10},\;B=\frac{3}{10}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\underline{y_{p2}=\frac{1}{10}\cos x+\frac{3}{10}\sin x}[/dispmath][dispmath]y=y_H+y_{p1}+y_{p2}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{y=c_1e^x\cos x+c_2e^x\sin x+xe^x+\frac{1}{10}\cos x+\frac{3}{10}\sin x}[/dispmath]

Ricma994 je napisao:i drugi primer [inlmath]y'''-y''-y'+y=3x+(24x-4)e^x[/inlmath].

Rešenje homogene jednačine je
[dispmath]y_H=c_1e^x+c_2xe^x+c_3e^{-x}[/dispmath]
Funkciju [inlmath]f\left(x\right)=3x+\left(24x-4\right)e^x[/inlmath], kao i u prethodnom zadatku, rastavljamo na dve funkcije, [inlmath]f_1\left(x\right)=3x[/inlmath] i [inlmath]f_2\left(x\right)=\left(24x-4\right)e^x[/inlmath]. I za jednu i za drugu funkciju radiš prema ovom uputstvu:

eseper je napisao:

• [inlmath]f(x)=e^{mx}P_n(x)[/inlmath]

- ako [inlmath]m[/inlmath] nije korijen karakteristične jednadžbe: [inlmath]y_P=e^{mx}Q_n(x)[/inlmath]

- ako je [inlmath]m[/inlmath] korijen karakteristične jednadžbe: [inlmath]y_P=x^{\alpha}e^{mx}Q_n(x)[/inlmath], gdje je [inlmath]\alpha[/inlmath] kratnost od [inlmath]m[/inlmath] kao korijena karakteristične jednadžbe

[inlmath]f_1\left(x\right)=3x[/inlmath]:

Ovde je [inlmath]P_n\left(x\right)=3x,\;m=0,\;n=1[/inlmath], pri čemu [inlmath]m[/inlmath] nije koren karakteristične jednačine, pa će partikularno rešenje biti:
[dispmath]y_{P1}=e^{0\cdot x}Q_1\left(x\right)=Ax+B[/dispmath][dispmath]y_{P1}'=A[/dispmath][dispmath]y_{P1}''=0[/dispmath][dispmath]y_{P1}'''=0[/dispmath]
Radi nalaženja koeficijenata [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], uvrstimo ove izvode u [inlmath]y_{P1}'''-y_{P1}''-y_{P1}'+y_{P1}=3x[/inlmath]:
[dispmath]0-0-A+Ax+B=3x[/dispmath][dispmath]\left(A-3\right)x+\left(B-A\right)=0[/dispmath][dispmath]A=3,\;B=3[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\underline{y_{P1}=3x+3}[/dispmath]
[inlmath]f_2\left(x\right)=\left(24x-4\right)e^x[/inlmath]:

Ovde je [inlmath]\;P_n\left(x\right)=24x-4,\;m=1,\;n=1[/inlmath], pri čemu je [inlmath]m[/inlmath] dvostruka nula karakteristične jednačine, tj. [inlmath]\alpha=2[/inlmath]:
[dispmath]y_{P2}=x^2e^xQ_1\left(x\right)=x^2e^x\left(Ax+B\right)=e^x\left(Ax^3+Bx^2\right)[/dispmath][dispmath]y_{P2}'=\left[e^x\left(Ax^3+Bx^2\right)\right]'=e^x\left(Ax^3+Bx^2\right)+e^x\left(3Ax^2+2Bx\right)=e^x\left[Ax^3+\left(3A+B\right)x^2+2Bx\right][/dispmath][dispmath]y_{P2}''=e^x\left[Ax^3+\left(3A+B\right)x^2+2Bx\right]+e^x\left[3Ax^2+\left(6A+2B\right)x+2B\right]=\\=e^x\left[Ax^3+\left(6A+B\right)x^2+\left(6A+4B\right)x+2B\right][/dispmath][dispmath]y_{P2}'''=e^x\left[Ax^3+\left(6A+B\right)x^2+\left(6A+4B\right)x+2B\right]+e^x\left[3Ax^2+\left(12A+2B\right)x+6A+4B\right]=\\=e^x\left[Ax^3+\left(9A+B\right)x^2+\left(18A+6B\right)x+6A+6B\right][/dispmath]
Radi nalaženja koeficijenata [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], uvrstimo ove izvode u [inlmath]y_{P2}'''-y_{P2}''-y_{P2}'+y_{P2}=(24x-4)e^x[/inlmath]:
[dispmath]\cancel{e^x}\left[Ax^3+\left(9A+B\right)x^2+\left(18A+6B\right)x+6A+6B\right]-\cancel{e^x}\left[Ax^3+\left(6A+B\right)x^2+\left(6A+4B\right)x+2B\right]-\\-\cancel{e^x}\left[Ax^3+\left(3A+B\right)x^2+2Bx\right]+\cancel{e^x}\left(Ax^3+Bx^2\right)=(24x-4)\cancel{e^x}[/dispmath][dispmath]\cancel{Ax^3}+\left(9A+B\right)x^2+\left(18A+6B\right)x+6A+6B-\cancel{Ax^3}-\left(6A+B\right)x^2-\left(6A+4B\right)x-2B-\\-\cancel{Ax^3}-\left(3A+B\right)x^2-2Bx+\cancel{Ax^3}+Bx^2=24x-4[/dispmath][dispmath]\left(12A-24\right)x+\left(6A+4B+4\right)=0\quad /:2[/dispmath][dispmath]6\left(A-2\right)x+\left(3A+2B+2\right)=0[/dispmath][dispmath]A=2,\;B=-4[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\underline{y_{P2}=e^x\left(2x^3-4x^2\right)}[/dispmath]
[dispmath]y=y_H+y_{P1}+y_{P2}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{y=c_1e^x+c_2xe^x+c_3e^{-x}+3x+3+e^x\left(2x^3-4x^2\right)}[/dispmath]

Ricma994 je napisao:I ako bi neko mogao da resi ovu dif jednacinu sa parametrom [inlmath]y''+2(1-a)y'+(1-2a)y=2e^{-x}[/inlmath] malo detaljnije

Karakteristična jednačina:
[dispmath]k^2+2(1-a)k+1-2a=0[/dispmath][dispmath]k_{1,2}=\frac{2\left(a-1\right)\pm\sqrt{4\left(1-2a+a^2\right)-4\left(1-2a\right)}}{2}=a-1\pm\sqrt{\cancel{1-2a}+a^2-\cancel{\left(1-2a\right)}}[/dispmath][dispmath]k_{1,2}=a-1\pm a[/dispmath][dispmath]k_1=-1,\quad k_2=2a-1[/dispmath]
Bez obzira na vrednost parametra [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]-1[/inlmath] je uvek koren karakteristične jednačine. Međutim, za slučaj [inlmath]a=0[/inlmath], [inlmath]-1[/inlmath] će biti dvostruki koren karakteristične jednačine, dok će za slučaj [inlmath]a\ne 0[/inlmath], [inlmath]-1[/inlmath] biti jednostruki koren karakteristične jednačine.

Dakle, radimo odvojeno za slučaj [inlmath]a\ne 0[/inlmath] i [inlmath]a=0[/inlmath].

[inlmath]\underline{a\ne 0:}[/inlmath]
[dispmath]y_H=c_1e^{-x}+c_2e^{\left(2a-1\right)x}[/dispmath][dispmath]y_P=Axe^{-x}[/dispmath][dispmath]y_P'=Ae^{-x}-Axe^{-x}=A\left(1-x\right)e^{-x}[/dispmath][dispmath]y_P''=-Ae^{-x}-A\left(1-x\right)e^{-x}=A\left(x-2\right)e^{-x}[/dispmath][dispmath]y_P''+2\left(1-a\right)y_P'+\left(1-2a\right)y_P=2e^{-x}[/dispmath][dispmath]A\left(x-2\right)\cancel{e^{-x}}+2\left(1-a\right)A\left(1-x\right)\cancel{e^{-x}}+\left(1-2a\right)Ax\cancel{e^{-x}}=2\cancel{e^{-x}}[/dispmath][dispmath]Ax-\cancel{2A}+\cancel{2A}-2Aa-\left(2A-2Aa\right)x+\left(A-2Aa\right)x=2[/dispmath][dispmath]Ax-2Aa-2Ax+\cancel{2Aax}+Ax-\cancel{2Aax}=2[/dispmath][dispmath]Aa=-1[/dispmath][dispmath]A=-\frac{1}{a}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\underline{y_p=-\frac{1}{a}xe^{-x}}[/dispmath]
[dispmath]y=y_H+y_P[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{y=c_1e^{-x}+c_2e^{\left(2a-1\right)x}-\frac{1}{a}xe^{-x}}[/dispmath]
[inlmath]\underline{a=0:}[/inlmath]
[dispmath]y_H=c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}[/dispmath][dispmath]y_P=Ax^2e^{-x}[/dispmath][dispmath]y_P'=2Axe^{-x}-Ax^2e^{-x}=A\left(2x-x^2\right)e^{-x}[/dispmath][dispmath]y_P''=A\left(2-2x\right)e^{-x}-A\left(2x-x^2\right)e^{-x}=A\left(x^2-4x+2\right)e^{-x}[/dispmath][dispmath]y_P''+2\left(1-a\right)y_P'+\left(1-2a\right)y_P=2e^{-x}\quad /a=0[/dispmath][dispmath]y_P''+2y_P'+y_P=2e^{-x}[/dispmath][dispmath]A\left(x^2-4x+2\right)\cancel{e^{-x}}+2A\left(2x-x^2\right)\cancel{e^{-x}}+Ax^2\cancel{e^{-x}}=2\cancel{e^{-x}}[/dispmath][dispmath]A\left(x^2-4x+2\right)+2A\left(2x-x^2\right)+Ax^2=2[/dispmath][dispmath]2A=2[/dispmath][dispmath]A=1[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\underline{y_P=x^2e^{-x}}[/dispmath]
[dispmath]y=y_H+y_P[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{y=c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}+x^2e^{-x}}[/dispmath]
Eto, to bi bilo to. Znam da ti nije ostalo mnogo vremena da ovo proučiš, ali ovakve stvari se ne uče dan-dva pred kolokvijum. Sledeći put pamet u glavu.

Jeste u pravi si izvinjavam se , hvala puno na detaljnom objasnjenu i odvojenom vremenu ,svakako ce znaciti i za ispit ako ne budem uradio sad na kolokvijumu!