Daniel mi je već pominjao kako bi se do formule za površinu sfere moglo doći preko integrala. Problem je u tome što sam za izvode našao objašnjenje koje kaže da oni predstavljaju način promene funkcije. Budući da su integrali inverzna funkcija izvoda, pretpostavljam da oni na osnovu brzine promene funkcije nam govore koja je funkcija u pitanju.

Da li je ovakav zaključak tačan?

Sumnjam da jeste, budući da ne mogu da zaključim kakvu primenu nalaze integrali u izvođenju pomenute formule. Mislite li da bih lakše ukapirao o čemu se radi ukoliko bih video taj postupak?

stevan95 je napisao:Budući da su integrali inverzna funkcija izvoda, pretpostavljam da oni na osnovu brzine promene funkcije nam govore koja je funkcija u pitanju.

Da li je ovakav zaključak tačan?

Pa, ne baš (ili ja nisam dobro razumeo ). Funkcija koja se integrali predstavlja način i brzinu promene one funkcije koju dobijamo kao rezultat integraljenja, tj. predstavlja prvi izvod funkcije koju dobijamo kao rezultat integraljenja. Geometrijski gledano, integraljenjem funkcije dobijamo površinu ograničenu krivom te funkcije s jedne strane, i [inlmath]x[/inlmath]-osom s druge strane. Što i ima logike, jer, ako bi našao izvod pomenute površine, tačno bi dobio tu funkciju čiji integral tražiš.

Ali, kod izvođenja formule za površinu sfere integral uopšte ne posmatramo na taj način, već ga predstavljamo kao granični slučaj suma. Evo pokazaću kako izgleda to izvođenje.

Prvo je potrebno dokazati jednu lemu (neću zasad iznositi dokaz, to možeš ti pokušati). Lema glasi: Neka je [inlmath]h[/inlmath] visina prave zarubljene kupe, a [inlmath]\rho[/inlmath] dužina duži normalne na izvodnicu od središta izvodnice do preseka s osom kupe. Površina omotača te zarubljene kupe je [inlmath]M=2\pi\rho h[/inlmath].


Sada loptu iseckamo po horizontali na mnoštvo parčića, pri čemu, ako su ti parčići vrlo tanki, možemo svaki od njih aproksimirati zarubljenom kupom (zapravo, krajnja gornja i krajnja donja kupa neće biti zarubljene već pune, ali videćemo kasnije zašto se taj detalj može zanemariti). Neka smo loptu iseckali na [inlmath]n[/inlmath] zarubljenih kupa, tako da visine svih dobijenih zarubljenih kupa budu jednake i iznose [inlmath]\Delta h[/inlmath]:


Površina omotača [inlmath]k[/inlmath]-te zarubljene kupe biće [inlmath]\Delta M_k=2\pi\rho_k\Delta h[/inlmath]. Površina sfere će biti približno jednaka zbiru površina omotača svih ovih zarubljenih kupa:
[dispmath]P\approx\sum_{k=1}^n\Delta M_k=\sum_{k=1}^n2\pi\rho_k\Delta h[/dispmath]
Što su te kupe tanje, tj. što je [inlmath]n[/inlmath] veće, biće i aproksimacija tačnija. U graničnom slučaju, kada su kupe bekonačno tanke a ima ih beskonačno mnogo, suma površina njihovih omotača će biti jednaka površini sfere. Tada suma, zapravo, prelazi u integral, [inlmath]\Delta h[/inlmath] prelazi u [inlmath]\mathrm dh[/inlmath], a [inlmath]\rho_k[/inlmath] prelazi u [inlmath]R[/inlmath], gde [inlmath]R[/inlmath] označava poluprečnik sfere:
[dispmath]P=\int\limits_{-R}^R2\pi R\mathrm dh[/dispmath]
Kao granice integraljenja uzete su [inlmath]-R[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath], jer posmatramo rastojanje svake od zarubljenih kupa u odnosu na centar sfere. Mogli smo posmatrati i rastojanje svake od zarubljenih kupa u odnosu na donju tačku sfere, tada bi granice išle od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]2R[/inlmath]. Takođe, mogli smo staviti i granice od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]R[/inlmath], računajući rastojanje kupa od centra sfere, pri čemu bismo dobili površinu jedne polusfere, nakon čega bismo rezultat pomnožili sa [inlmath]2[/inlmath]. Rezultat bi u sva tri slučaja bio isti.

Pošto su u ovom slučaju sve ove kupe beskonačno male visine, a samim tim i beskonačno male površine omotača, to isto važi i za krajnju donju i krajnju gornju punu kupu, tako da one nemaju uticaja na dobijeni rezultat. Zbog toga smo ih mogli zanemariti.

Ostalo je još da izračunamo integral:
[dispmath]P=\int\limits_{-R}^R2\pi R\mathrm dh=2\pi R\int\limits_{-R}^R\mathrm dh=\left.2\pi Rh\right|_{-R}^R=2\pi R\cdot R-2\pi R\left(-R\right)=2\pi R^2+2\pi R^2=4\pi R^2[/dispmath]

Daniel je napisao:(neću zasad iznositi dokaz, to možeš ti pokušati)

Nažalost, ne umem da dokažem, a ne bih da objašnjenje nečeg što mi nije jasno zasnivam na nečemu drugom što mi nije jasno, pa ako može objašnjenje.

Sasvim pravilan pristup. Evo dokaza:

Posmatrajmo poprečni presek zarubljene kupe, koji predstavlja, zapravo, jednakokraki trapez. Obeležimo njegova temena sa [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath]. Iz temena [inlmath]C[/inlmath] spustimo visinu na donju stranicu i podnožje te visine obeležimo sa [inlmath]E[/inlmath].
Sredinu izvodnice kupe, tj. sredinu kraka ovog jednakokrakog trapeza, obeležimo sa [inlmath]F[/inlmath] i iz nje povučemo normalu na uzdužnu osu kupe. Presek te normale s uzdužnom osom kupe obeležimo sa [inlmath]G[/inlmath].
Iz tačke [inlmath]F[/inlmath] povučemo pravu normalnu na izvodnicu i njen presek s uzdužnom osom kupe obeležimo sa [inlmath]H[/inlmath].


Tada će biti [inlmath]\angle EBC=\angle GHF[/inlmath] i [inlmath]\angle BCE=\angle HFG[/inlmath], jer su to parovi uglova s normalnim kracima. Takođe, biće i [inlmath]\angle BEC=\angle HGF=90^\circ[/inlmath]. Iz toga sledi da su trouglovi [inlmath]\triangle BEC[/inlmath] i [inlmath]\triangle HGF[/inlmath] slični, što znači da su im stranice međusobno proporcionalne:
[dispmath]\triangle BEC\sim\triangle HGF[/dispmath][dispmath]EC:GF=BC:HF[/dispmath]
Kako je [inlmath]EC=h,\;GF=\frac{R+r}{2},\;BC=S,\;HF=\rho[/inlmath], sledi:
[dispmath]h:\frac{R+r}{2}=S:\rho[/dispmath][dispmath]\left(R+r\right)S=2\rho h[/dispmath]
Pomnožimo obe strane sa [inlmath]\pi[/inlmath]:
[dispmath]\underbrace{\pi\left(R+r\right)S}_M=2\pi\rho h[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{M=2\pi\rho h}[/dispmath]