Na koliko različitih načina slova reči [inlmath]ARMATURA[/inlmath] mogu da se rasporede tako da na prvom mestu ne bude samoglasnik?
Ja sam mislio da treba da od ukupnog broja permutacija [inlmath]8![/inlmath] oduzmem broj permutacija kada je na prvom mjestu samoglasnik [inlmath]4\cdot 7![/inlmath], ali ne dobijem tačan rezultat.

Ako se ne varam, treba uzeti u obzir da od ta četiri samoglasnika, tri su zapravo jedan te isti (slovo [inlmath]A[/inlmath]).

I to, a takođe treba uzeti u obzir i to da se [inlmath]R[/inlmath] ponavlja dvaput.

Prema tome, ovo nisu permutacije bez ponavljanja (tj. ne važe formule po kojima si ti radio), već permutacije s ponavljanjem.

Svejedno je hoćeš li raditi tako što ćeš na prvo mesto postaviti [inlmath]M[/inlmath], [inlmath]R[/inlmath] ili [inlmath]T[/inlmath] a za preostala mesta i preostala slova tražiti broj permutacija s ponavljanjem, ili ćeš od ukupnog broja permutacija s ponavljanjem, [inlmath]\frac{8!}{3!\cdot 2!}[/inlmath], oduzeti one permutacije kod kojih su [inlmath]A[/inlmath] ili [inlmath]U[/inlmath] na prvom mestu. U oba slučaja se kao rezultat dobije [inlmath]\frac{7!}{3}[/inlmath].

Da li mi možeš dati postupak, pošto se ne snalazim dobro sa ovim permutacijama sa ponavljanjem

Može deo postupka.

U opštem slučaju, broj načina na koji možemo na [inlmath]n[/inlmath] mesta rasporediti [inlmath]m[/inlmath] članova nekog skupa ([inlmath]m<n[/inlmath]), pri čemu se svaki od elemenata pri svakom raspoređivanju ponavlja isti broj puta, iznosi
[dispmath]\overline P_n^{\left(n_1,n_2,\ldots n_m\right)}=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdots n_m!}[/dispmath]
gde je sa [inlmath]n_i[/inlmath] obeležen broj pojavljivanja [inlmath]i[/inlmath]-tog elementa u svakoj od tih permutacija. Pri tome, važi [inlmath]n_1+n_2+\cdots +n_m=n[/inlmath].
Naravno, za one elemente koji se pojavljuju samo jednom, bilo bi [inlmath]1![/inlmath], tj. [inlmath]1[/inlmath], pa tu jedinicu ne pišemo – pišemo faktorijele u imeniocu samo za one elemente koji se pojavljuju dva ili više puta.

Zbog toga sam i napisao da bi ukupan broj permutacija reči [inlmath]ARMATURA[/inlmath] bio [inlmath]\frac{8!}{3!\cdot 2!}[/inlmath]. Ukupno imamo [inlmath]8[/inlmath] mesta na koja raspoređujemo raspoloživa slova. Otuda [inlmath]8![/inlmath] u brojiocu. Imamo dva slova koja se pojavljuju više od jednog puta, jedno je slovo [inlmath]A[/inlmath] koje se pojavljuje triput i drugo je slovo [inlmath]R[/inlmath] koje se pojavljuje dvaput. Otuda [inlmath]3!\cdot 2![/inlmath] u imeniocu.

Broj permutacija kod kojih je, recimo, [inlmath]A[/inlmath] na prvom mestu određujemo ovako: na preostalih [inlmath]7[/inlmath] mesta rapoređujemo preostala slova, znači, u brojiocu je [inlmath]7![/inlmath]. Od tih preostalih slova imamo dva koja se pojavljuju više od jednog puta – jedno slovo je [inlmath]A[/inlmath] koje se pojavljuje dvaput (jer je jedno [inlmath]A[/inlmath] već „utrošeno“ na prvu poziciju, pa nam je ostalo još dva slova [inlmath]A[/inlmath]), a drugo slovo je [inlmath]R[/inlmath], koje se takođe pojavljuje dvaput. Znači, u imeniocu će biti [inlmath]2!\cdot 2![/inlmath]. Prema tome, broj permutacija za ovaj slučaj je [inlmath]\frac{7!}{2!\cdot 2!}[/inlmath].

Tebi prepuštam da još nađeš broj permutacija kod kojih je [inlmath]U[/inlmath] na prvom mestu, a kad to uradiš, lako ćeš odrediti i broj permutacija koji se traži.

Takođe, možeš, radi vežbe, rešiti zadatak i na onaj drugi način – tako što sabereš brojeve permutacija kada se na prvom mestu nađe [inlmath]M[/inlmath], kada se nađe [inlmath]R[/inlmath] i kada se nađe [inlmath]T[/inlmath].

Ako negde bude zapelo, pomoći ćemo, samo, naravno, navedi gde je tačno nastao problem.

Hvala puno, sad je sve jasno