Milovan je napisao:Da bi [inlmath]50-k[/inlmath] bilo deljivo sa [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]k[/inlmath] svakako mora biti paran broj, a pošto je deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] treba da bude deljiv i sa [inlmath]6[/inlmath]. Dakle, on je deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], pa je oblika [inlmath]6m[/inlmath].

Imam rešenje ovog zadatka u kome piše gotovo isto što je i Milovan napisao. Ali i dalje ne kontam zbog čega broj koji je deljiv sa [inlmath]4[/inlmath] i sa [inlmath]3[/inlmath], mora da bude deljiv i sa [inlmath]6[/inlmath].

Ne samo da mora biti deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], nego i sa [inlmath]12[/inlmath].

Svaki prirodan broj možeš prikazati kao proizvod prostih brojeva... (kanonska faktorizacija) Taj broj je deljiv svakim od tih prostih brojeva i njihovim uzajamnim proizvodima (sa dva ili više članova) Ako je broj deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], jedan od prostih brojeva u njegovoj kanonskoj faktorizaciji mora biti [inlmath]2[/inlmath]. Ako je broj deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] jedan od brojeva u kanonskoj faktorizaciji je [inlmath]3[/inlmath]. Samim tim, broj je deljiv i sa [inlmath]2\cdot 3=6[/inlmath]. Broj deljiv sa [inlmath]4[/inlmath] je svakako deljiv sa [inlmath]2[/inlmath].

S tim što u datom kontekstu [inlmath]k[/inlmath] ne treba da bude deljivo sa [inlmath]4[/inlmath], a treba da bude deljivo sa [inlmath]2[/inlmath].

Daniel je napisao:

sevdah baby je napisao:Sto se 1. zadatka tice, i ako taj indeks predstavlja najveci clan u binomnom razvoju, sigurno ga necu racunati za [inlmath]21[/inlmath] clan i onda uporedjivati, zar ne? :OO

Ne vidim drugog načina.

Ipak se ne mora tako racunati. Ne mora se izracunati nijedan clan. Evo nacina koji je naveden u zbirci ali ga ni ja ne kapiram bas najbolje..
Svi clanovi u razvoju su ocigledno pozitini. Posmatracemo kolicnik [inlmath]\frac{A_{k+2}}{A_{k+1}}[/inlmath] za [inlmath]k=0,1,\ldots ,n-1[/inlmath] U opstem slucaju je
[dispmath]\frac{A_{k+2}}{A_{k+1}}=\frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{b}{a}[/dispmath]
a u nasem
[dispmath]\frac{A_{k+2}}{A_{k+1}}=\frac{20-k}{k+1}\cdot\sqrt{\frac{2}{5}}[/dispmath]
Iz nejednacine [inlmath]\frac{A_{k+2}}{A_{k+1}}>1[/inlmath] sledi da je [inlmath]k<\frac{20-\sqrt{\frac{5}{2}}}{1+\sqrt{\frac{5}{2}}}=7.13\ldots[/inlmath], odnosno [inlmath]k\leq 7[/inlmath]. Prema tome, niz sabiraka [inlmath]A_1,A_2,\ldots,A_9[/inlmath] je monotono rastuci, dok je niz [inlmath]A_{10},A_{11},\ldots,A_{21}[/inlmath] monotono opadajuci. Kako je [inlmath]A_9>A_{10}[/inlmath], najveci sabirak ima indeks [inlmath]9[/inlmath].
Meni je jasan ovaj prvi deo, za opsti i nas slucaj, to se stvarno moze dokazati, i proverio sam to..Ali ovaj drugi deo skoro nista ne kapiram. Tj. taj deo sto sam obelezio crvenom bojom..

Odlična dosetka, zaista. Lepo je tako saznati za elegantno rešenje nekog zadatka posle više od godinu dana.

Nejednakost [inlmath]\frac{A_{k+2}}{A_{k+1}}>1[/inlmath] će važiti za onaj deo niza [inlmath]A_k[/inlmath] koji je monotono rastući. Čim smo rešavanjem te nejednačine po [inlmath]k[/inlmath] dobili da je [inlmath]k[/inlmath] manje od neke određene vrednosti, to znači da je niz do tog člana monotono rastući, a počev od tog člana pa do kraja je monotono opadajući, što znači da taj član predstavlja i najveći član tog niza.

Bilo bi pravilnije da su u rešenju napisali „niz sabiraka [inlmath]A_1,A_2,\ldots ,A_9[/inlmath] je monotono rastuci, dok je niz [inlmath]{\color{red}A_9},A_{10},A_{11},\ldots ,A_{21}[/inlmath] monotono opadajuci.“ To jest, član [inlmath]A_9[/inlmath] pripada i rastućem i opadajućem delu niza, što znači da od tog člana niz prelazi iz rastućeg u opadajući. I iz toga zaključujemo da je [inlmath]A_9[/inlmath] najveći član niza.

Ili, ako ovo prethodno napisano nije bilo dovoljno jasno, možemo to i ovako posmatrati: time što smo, rešivši nejednačinu, dobili [inlmath]n\le 7[/inlmath], zaključujemo da su količnici članova niza [inlmath]\frac{A_2}{A_1},\frac{A_3}{A_2},\frac{A_4}{A_3},\ldots ,\frac{A_9}{A_8}[/inlmath] veći od jedinice, a količnici članova niza [inlmath]\frac{A_{10}}{A_9},\frac{A_{11}}{A_{10}},\frac{A_{12}}{A_{11}},\ldots ,\frac{A_{21}}{A_{20}}[/inlmath] su manji od jedinice. Odatle takođe zaključujemo da članovi niza rastu do nekog člana, a počev od tog člana pa do kraja opadaju. Kako iz [inlmath]\frac{A_9}{A_8}>1[/inlmath] i iz [inlmath]\frac{A_{10}}{A_9}<1[/inlmath] sledi [inlmath]A_9>A_8[/inlmath] i [inlmath]A_{10}<A_9[/inlmath], može se lako zaključiti da je taj član niza [inlmath]A_9[/inlmath], tj. deveti po redu.