A evo i načina koji sam ja bio zamislio (malo drugačiji od onog u knjizi).

Niz [inlmath]-64,32,-16\ldots[/inlmath] označimo sa [inlmath]a_m[/inlmath], a niz [inlmath]\frac{1}{128},\frac{1}{64},\frac{1}{32}\ldots[/inlmath] sa [inlmath]b_n[/inlmath]. Odmah vidimo da je kod prvog niza [inlmath]a_1=-64[/inlmath] i [inlmath]q_a=-\frac{1}{2}[/inlmath], dok je kod drugog niza [inlmath]b_1=\frac{1}{128}[/inlmath] i [inlmath]q_b=2[/inlmath].
Postavljamo uslov za jednakost [inlmath]m[/inlmath]-tog člana prvog i [inlmath]n[/inlmath]-tog člana drugog niza:
[dispmath]a_m=b_n[/dispmath][dispmath]a_1q_a^{m-1}=b_1q_b^{n-1}[/dispmath][dispmath]\left(-64\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{m-1}=\frac{1}{128}\cdot 2^{n-1}[/dispmath][dispmath]\left(-2^6\right)\cdot\frac{\left(-1\right)^{m-1}}{2^{m-1}}=2^{-7}\cdot 2^{n-1}[/dispmath][dispmath]\left(-2^6\right)\cdot 2^{1-m}\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)^m=2^{n-8}[/dispmath][dispmath]2^{7-m}\cdot\left(-1\right)^m=2^{n-8}\quad /\cdot 2^{m+8}[/dispmath][dispmath]\left(-1\right)^m\cdot 2^{15}=2^{m+n}[/dispmath]
Pošto je desna strana jednakosti pozitivna, mora biti pozitivna i leva, što znači da [inlmath]\left(-1\right)^m[/inlmath] mora biti pozitivno, odakle sledi da [inlmath]m[/inlmath] mora biti parno. Uz taj uslov,
[dispmath]m+n=15[/dispmath][dispmath]m=15-n[/dispmath]
Pošto važi [inlmath]m\ge 1[/inlmath] i [inlmath]n\ge 1[/inlmath], sledi da je [inlmath]1\le m\le 14[/inlmath]. Uz uslov da je [inlmath]m[/inlmath] parno, uslov jednakosti članova ova dva niza je zadovoljen za sedam vrednosti [inlmath]m[/inlmath], pri čemu je prva od tih vrednosti [inlmath]a_2=32[/inlmath], a odnos dve susedne vrednosti je [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath] (jer biramo svaki drugi član geometrijskog niza čiji je količnik [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]). Prema tome, računamo sumu prvih sedam članova geometrijskog niza čiji je prvi član [inlmath]32[/inlmath], a količnik [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath]:
[dispmath]S_7=32\cdot\frac{1-\displaystyle{\frac{1}{4^7}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{4}}}=\cdots =\frac{5461}{128}[/dispmath]

Bravo, sve mi je jasno, to mi je možda i kraći put izračuna. Još jednom Hvala.