Odrediti sva resenja jednacina:
[dispmath]a)\;\mathrm{tg}\:x+2\mathrm{ctg}\:x-3=0[/dispmath][dispmath]b)\;\sin x-\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}[/dispmath]
Sto se tice ove prve tu sam pokusavala da prebacim [inlmath]\mathrm{tg}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{ctg}[/inlmath] u [inlmath]\sin[/inlmath] i [inlmath]\cos[/inlmath] ,pa preko formula za zbir i proizvod da nesto uradim ali bezuspesno
A ova druga se vrv radi preko zamene ,gde se posle izrazi [inlmath]x[/inlmath] ali nzm sta da radim sa [inlmath]\frac{1}{\sqrt{2}}[/inlmath]

1) Stavi da je [inlmath]\mathrm{ctg}\:x=\frac{1}{\mathrm{tg}\:x}[/inlmath] i dobices posle kvadratnu jednacinu po [inlmath]t=\mathrm{tg}\:x[/inlmath].

2) Pomnozi celu jednacinu sa [inlmath]\frac{\sqrt 2}{2}[/inlmath] i primeti da na levoj strani imas sinus neke razlike.

iz prve sam dobila ovo:
[dispmath]t ^2+2-3t=0\\
t_1=2\\
t_2=1\\
\mathrm{tg}\:x=2;\;\mathrm{tg}\:x=1\\
x=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi[/dispmath]
zanima me da li se ovde [inlmath]\mathrm{tg}\:x=2[/inlmath] zanemaruje,jer ne moze biti veci od [inlmath]1,7[/inlmath] ?
i kada u zadatku stoji da je potrebno naci sva resenja , da li mi je onda krajnje resenje ovo: [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi[/inlmath]
ili moram da menjam [inlmath]k[/inlmath]..
A sto se tice druge jednacine,pomnozila sam je sa [inlmath]\frac{\sqrt{2}}{2}[/inlmath]
[dispmath]\sin x-\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}\quad /\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{1}{2}\\
\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x-\cos x)=\frac{1}{2}\quad\mbox{ili}\quad\sqrt{2}(\sin x-\cos x)=1[/dispmath]
i dobijam razliku sinusa i kosinusa,znam formulu za razliku sinusa ili razliku kosinusa ali nzm sta mogu ovde da primenim

whodin je napisao:iz prve sam dobila ovo:
[dispmath]t ^2+2-3t=0\\
t_1=2\\
t_2=1\\
\mathrm{tg}\:x=2;\;\mathrm{tg}\:x=1[/dispmath]

whodin je napisao:[dispmath]x=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi[/dispmath]
zanima me da li se ovde [inlmath]\mathrm{tg}\:x=2[/inlmath] zanemaruje,jer ne moze biti veci od [inlmath]1,7[/inlmath] ?

Ne zanemaruje se, jedno od rešenja je i [inlmath]x=\mathrm{arctg}\:2+k\pi[/inlmath]. Na osnovu čega smatraš da tangens ne može biti veći od [inlmath]1,7[/inlmath]? I zašto baš [inlmath]1,7[/inlmath], mislim, otkud baš ta brojka?

whodin je napisao:i kada u zadatku stoji da je potrebno naci sva resenja , da li mi je onda krajnje resenje ovo: [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi[/inlmath]
ili moram da menjam [inlmath]k[/inlmath]..

Kako misliš, da menjaš [inlmath]k[/inlmath]? Misliš, da li da pišeš [inlmath]\ldots ,\;x=-\frac{7\pi}{4},\;x=-\frac{3\pi}{4},\;x=\frac{\pi}{4},\;x=\frac{5\pi}{4},\;x=\frac{9\pi}{4},\;\ldots[/inlmath]? Ma, jok. Samo napišeš [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath] (eventualno, nije zgoreg da još dodaš i [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath], mada verujem da bi ti priznali i bez toga jer se to podrazumeva) i to je rešenje. To jest, jedno od dva rešenja. Drugo rešenje je ono [inlmath]x=\mathrm{arctg}\:2+k\pi[/inlmath].

whodin je napisao:A sto se tice druge jednacine,pomnozila sam je sa [inlmath]\frac{\sqrt{2}}{2}[/inlmath]
[dispmath]\sin x-\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}\quad /\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{1}{2}\\
\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x-\cos x)=\frac{1}{2}\quad\mbox{ili}\quad\sqrt{2}(\sin x-\cos x)=1[/dispmath]
i dobijam razliku sinusa i kosinusa,znam formulu za razliku sinusa ili razliku kosinusa ali nzm sta mogu ovde da primenim

Nije to bila ideja, došla si ovime na početak. Nego, kad si dobila jednačinu
[dispmath]\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{1}{2}[/dispmath]
treba sada da jedno [inlmath]\frac{\sqrt 2}{2}[/inlmath] zameniš sa [inlmath]\cos\frac{\pi}{4}[/inlmath], a drugo [inlmath]\frac{\sqrt 2}{2}[/inlmath] zameniš sa [inlmath]\sin\frac{\pi}{4}[/inlmath], tako da dobiješ
[dispmath]\sin x\cos\frac{\pi}{4}-\cos x\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}[/dispmath]
i zatim u izrazu na levoj strani jednačine prepoznaš formulu za sinus razlike, [inlmath]\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]...

Na osnovu čega smatraš da tangens ne može biti veći od [inlmath]1,7[/inlmath]? I zašto baš [inlmath]1,7[/inlmath], mislim, otkud baš ta brojka?

zbog [inlmath]\sqrt 3[/inlmath] posto je manji od [inlmath]2[/inlmath]

Nije to bila ideja, došla si ovime na početak. Nego, kad si dobila jednačinu
[dispmath]\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{1}{2}[/dispmath]
treba sada da jedno [inlmath]\frac{\sqrt 2}{2}[/inlmath] zameniš sa [inlmath]\cos\frac{\pi}{4}[/inlmath], a drugo [inlmath]\frac{\sqrt 2}{2}[/inlmath] zameniš sa [inlmath]\sin\frac{\pi}{4}[/inlmath], tako da dobiješ
[dispmath]\sin x\cos\frac{\pi}{4}-\cos x\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}[/dispmath]
i zatim u izrazu na levoj strani jednačine prepoznaš formulu za sinus razlike, [inlmath]\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]...

dobro i posle toga dobijem
[dispmath]\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}[/dispmath]
i izjednacim [inlmath]\left(x-\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath] sa [inlmath]\frac{\pi}{6}+2k\pi\;\Rightarrow\;x=\frac{5\pi}{12}+2k\pi[/inlmath]
E sada da li kada je sinus u pitanju uvek treba da izrazim [inlmath]x[/inlmath] i preko druge formule [inlmath](x=\pi-\arcsin a+2k\pi)[/inlmath] sto bi ovde bilo:
[dispmath]x=\pi-\frac{\pi}{12}+2k\pi=\frac{13\pi}{12}+2k\pi[/dispmath]
ili mi je dovoljna prva formula?

whodin je napisao:

Na osnovu čega smatraš da tangens ne može biti veći od [inlmath]1,7[/inlmath]? I zašto baš [inlmath]1,7[/inlmath], mislim, otkud baš ta brojka?

zbog [inlmath]\sqrt 3[/inlmath] posto je manji od [inlmath]2[/inlmath]

Hm, možda tebe zbunjuje to što je u tablici trigonometrijskih funkcija karaktersitičnih uglova ([inlmath]\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\ldots[/inlmath]) najveća vrednost koja je ubeležena za tangens zaista [inlmath]\sqrt 3[/inlmath] (za ugao od [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath]), ali to uopšte nije i najveća vrednost koju tangens može imati, budući da mogu postojati i druge vrednosti uglova osim tih karakterističnih iz tablice. Moguće vrednosti tangensa (kao i kotangensa) idu od [inlmath]-\infty[/inlmath] do [inlmath]+\infty[/inlmath]. U ovoj temi imaš, između ostalog, i grafik tangensne funkcije, pa možeš pogledati.

whodin je napisao:E sada da li kada je sinus u pitanju uvek treba da izrazim [inlmath]x[/inlmath] i preko druge formule [inlmath](x=\pi-\arcsin a+2k\pi)[/inlmath] sto bi ovde bilo:
[dispmath]x=\pi-\frac{\pi}{12}+2k\pi=\frac{13\pi}{12}+2k\pi[/dispmath]
ili mi je dovoljna prva formula?

Potrebno je da napišeš i to drugo rešenje, naravno. Zapravo si mogla već iz jednačine [inlmath]\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}[/inlmath] da kažeš (zamišljajući ili crtajući trigonometrijsku kružnicu) – sinus će biti jednak jednoj polovini za uglove od [inlmath]\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] i za uglove od [inlmath]\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]. Dakle, ovaj prvi je unutar [inlmath]I[/inlmath] kvadranta, a ovaj drugi je unutar [inlmath]II[/inlmath] kvadranta trigonometrijske kružnice. U [inlmath]III[/inlmath] i [inlmath]IV[/inlmath] kvadrantu nema ni smisla tražiti rešenja, jer bi za uglove iz ta dva kvadranta sinus bio negativan, pa ne bi mogao biti jednak [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath].

Dakle, kompletno rešenje ovog zadatka je
[dispmath]x=\frac{5\pi}{12}+2k\pi\quad\lor\quad x=\frac{13\pi}{12}+2k\pi[/dispmath]