Pozdrav. Zadatak je:

Odredi znamenke [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] iz jednakosti [inlmath]23_a=41_b[/inlmath]
[dispmath]23_a=2\cdot a^1+3=2a+3=2a=-3\\
a=-\frac{3}{2}[/dispmath]
[dispmath]41_b=4\cdot b^1+1=4b+1=4b=-1\\
b=-\frac{1}{4}[/dispmath]
Da li je tačno? Hvala.

Ne bih rekao. Osnove brojnih sistema moraju biti prirodni brojevi.

Možeš li pojasniti ovaj deo postupka?

željko je napisao:[dispmath]\cdots =2a+3=2a=-3[/dispmath][dispmath]\cdots =4b+1=4b=-1[/dispmath]

Pretpostavljam da si tu, zapravo, hteo da napišeš
[dispmath]\cdots =2a+3\quad\Rightarrow\quad 2a=-3\\
\cdots =4b+1\quad\Rightarrow\quad 4b=-1[/dispmath]
ali to bi značilo da si [inlmath]2a+3[/inlmath] i [inlmath]4b+1[/inlmath] izjednačavao s nulom, a opet ne vidim zbog čega bi to radio?

Da, mislio sam da je tako, šta da radim? pomozite.

Znači,
[dispmath]23_a=41_b\quad\Rightarrow\quad 2a+3=4b+1[/dispmath]
Dotle si i sâm stigao.
Sada od obe strane oduzmemo [inlmath]1[/inlmath],
[dispmath]2a+2=4b[/dispmath]
zatim obe strane podelimo sa [inlmath]2[/inlmath],
[dispmath]a+1=2b\\
a=2b-1[/dispmath]
Pošto je desna strana neparan broj, mora biti neparan broj i leva strana, tj. [inlmath]a[/inlmath] mora biti neparno.
Pošto najveća cifra u broju [inlmath]23_a[/inlmath] iznosi [inlmath]3[/inlmath], zaključujemo da je [inlmath]a\ge 4[/inlmath]; zbog uslova da je [inlmath]a[/inlmath] neparno, to se svodi na [inlmath]a\ge 5[/inlmath].
Pošto najveća cifra u broju [inlmath]41_b[/inlmath] iznosi [inlmath]4[/inlmath], zaključujemo da je [inlmath]b\ge 5[/inlmath].
Pošto je [inlmath]2b\ge 10[/inlmath], znači da je [inlmath]2b-1\ge 9[/inlmath], tj. [inlmath]a\ge 9[/inlmath].

Kad sve te uslove objedinimo, zaključujemo da je [inlmath]a[/inlmath] neparno i [inlmath]a\ge 9,\;b\ge 5,\;a=2b-1[/inlmath]. Znači, ima bezbroj rešenja, s tim da moraju zadovoljavati ove uslove.

---

Provera:

Primer 1: [inlmath]a=9,\;b=5[/inlmath]
[dispmath]23_9=41_5\\
2\cdot 9+3=4\cdot 5+1\\
18+3=20+1\\
21=21\\
\top[/dispmath]

Primer 2: [inlmath]a=11,\;b=6[/inlmath]
[dispmath]23_{11}=41_6\\
2\cdot 11+3=4\cdot 6+1\\
22+3=24+1\\
25=25\\
\top[/dispmath]

Primer 3: [inlmath]a=37,\;b=19[/inlmath]
[dispmath]23_{37}=41_{19}\\
2\cdot 37+3=4\cdot 19+1\\
74+3=76+1\\
77=77\\
\top[/dispmath]

Malo sam vežbao i sada vas pitam da li su ovi postupci tačni. Hvala.

Ako je [inlmath]24_x\cdot 30_x=1320_x[/inlmath] izračunaj bazu [inlmath]x[/inlmath].
[dispmath](2x+4)\cdot 3x=x^3+3x^2+2x\quad /:x\\
(2x+4)\cdot 3=x^2+3x+2\\
6x+12-x^2-3x-2=0\\
-x^2+3x+10=0\quad /\cdot(-1)\\
x^2-3x-10=0\\
x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{9+40}}{2}=\frac{3\pm 7}{2}\\
x_1=5\\
x_2=-2\;\rightarrow\;\mbox{NE}[/dispmath]
Rešenje je [inlmath]5[/inlmath].

I drugi zadatak. U kojoj bazi [inlmath]b[/inlmath] je broj [inlmath]123_b[/inlmath] trostruko veći od broja [inlmath]21_b[/inlmath] ,
a u kojoj je trostruko veći od broja [inlmath]25_b[/inlmath]?
a)
[dispmath]123_b=3\cdot 21_b\\
b^2+2b+3=3\cdot(2b+1)\\
b^2+2b+3-6b-3=0\\
b^2-4b=0\\
b_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16-0}}{2}=\frac{4\pm 4}{2}\\
b_1=4\\
b_2=0[/dispmath]
mora biti [inlmath]b>3[/inlmath] pa je rešenje [inlmath]b=4[/inlmath]
[dispmath]123_4=4^2+2\cdot 4+3=16+8+3=27=3\cdot 9=3\cdot 21_4[/dispmath]
b)
[dispmath]123_b=3\cdot 25_b\\
b^2+2b+3=3\cdot(2b+5)\\
b^2+2b-6b+3-15=0\\
b^2-4b-12=0\\
b_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}{2}=\frac{4\pm 8}{2}\\
b_1=6\\
b_2=-2\\
b>5[/dispmath]
Rešenje je [inlmath]b=6[/inlmath]
[dispmath]123_6=6^2+2\cdot 6+3=36+12+3=51=3\cdot 17=3\cdot 25_6[/dispmath]

Imam jedno pitanje za onaj gore prvi zadatak koji je:

Odredi znamenke [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] iz jednakosti [inlmath]23_a=41_b[/inlmath]
Kad piše odredi znamenke, da li možemo zaključiti da su obe brojevne baze jednakoznamenkaste pa imamo jedno rešenje [inlmath]a=9,\;b=5.[/inlmath]
Hvala.

željko je napisao:Kad piše odredi znamenke, da li možemo zaključiti da su obe brojevne baze jednakoznamenkaste pa imamo jedno rešenje [inlmath]a=9, b=5.[/inlmath]
Hvala.

U pravu si, promaklo mi je da piše znamenke, a ne brojevi. Time je dat i dodatni podatak da su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] brojevi od jedne znamenke/cifre. Samo mala korekcija, ne jednakoznamenkaste kako si napisao (jer u tom slučaju bi i npr. rešenje [inlmath]a=37,\;b=19[/inlmath] došlo u obzir, budući da i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] tada imaju jednak broj znamenaka, tj. dve znamenke), već jednoznamenkaste.

željko je napisao:Malo sam vežbao i sada vas pitam da li su ovi postupci tačni. Hvala.

Pa, u drugom zadatku si na kraju i izvršio proveru i dobio si da se rezultat poklapa. To ti je najbolja potvrda da ti je postupak ispravan.

I u prvom zadatku takođe možeš izvršiti proveru (što ti, inače, uvek i preporučujem):
[dispmath]24_5\cdot 30_5=1320_5\\
\left(2\cdot 5+4\right)\cdot\left(3\cdot 5+0\right)=1\cdot 125+3\cdot 25+2\cdot 5+0\\
14\cdot 15=125+75+10\\
210=210\\
\top[/dispmath]

---

Što se samog postupka tiče, jedino bih ti savetovao, kad imaš kvadratnu jednačinu kod koje je slobodan član jednak nuli, kao što je [inlmath]b^2-4b=0[/inlmath] u drugom zadatku pod a), da ne koristiš formulu za rešavanje kvadratne, jer nema potrebe, može mnogo jednostavnije da se reši tako što se izvuče [inlmath]b[/inlmath] ispred zagrade:
[dispmath]b\left(b-4\right)=0[/dispmath]
A proizvod je jednak nuli onda kada je bar jedan od činilaca jednak nuli, to jest:
[dispmath]\begin{array}{lll}
b=0 & \lor & b-4=0\\
b=0 & \lor & b=4
\end{array}[/dispmath]
Eto. Daleko jednostavnije.