Svojstvo za kolicnik bi valjalo izvesti iz same definicije limesa, kao i ovo prethodno...

Neka je [inlmath]\lim\limits_{x\to a}f(x)=b[/inlmath]. Onda postoji neko [inlmath]\delta_1[/inlmath] i neko [inlmath]\delta_2[/inlmath] tako da vazi:
[dispmath]0<|x-a|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-b|<\frac{|b|}{2}[/dispmath][dispmath]0<|x-a|<\delta_2\Rightarrow |f(x)-b|<\frac{|b|^2\varepsilon}{2}[/dispmath]
Izaberemo manju deltu (vazice obe posledicne nejednakosti), i pokazemo da je limes reciprocne vrednosti [inlmath]\frac{1}{b}[/inlmath]. Kada se iskoriste prethodne nejednakosti:
[dispmath]\left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{b}\right|=\frac{|b-f(x)|}{|b||f(x)|}<\varepsilon[/dispmath]

Evo sada sam završio sa izvođenjem svojstva količnika i proizvoda.Uspješno završen posao.I nije mi baš najjasniji tvoj način izvođenja za recipročnu vrijednost.Jeste preskočio si par koraka tako da ja to ne mogu da upratim.Ne znam šta kažeš za onaj moj način preko stepena on je još jednostavniji ?

Tvoj nacin uopste nije validan dokaz jer u stvari samo koristis gotovu formulu koju nisi dokazao. Kod dokaza osnovnih svojstava limesa, u koje izmedju ostalog spada ono koje si sam iskoristio, treba poci od definicije limesa, da bi onda pokazao da tako definisan limes ima navedena svojstva... Imalo bi smisla da dokazes onu formulu sa stepenom iz definicije, pa da onda uvrstis [inlmath]n=-1[/inlmath] (dakle, izvodjenje jednog svojstva pozivanjem na drugo svojstvo, ali dokazano svojstvo). Ovo sto si uradio je otprilike kao da na pitanje zasto pada kisa odgovoris "jer je oblacno". A zasto je oblacno?

Dokaz sam pri kraju skratio namerno kako bih ti ostavio malo posla za tumacenje, ali ako zelis evo detaljnije. Uzmes kao i proslih par puta manju deltu, i onda vaze obe nejednakosti, i [inlmath]|f(x)-b|<\frac{|b|}{2}[/inlmath] i [inlmath]|f(x)-b|<\frac{|b|^2\varepsilon}{2}[/inlmath]

Dokazujes da je limes [inlmath]\lim\limits_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{b}[/inlmath]. Da bi to bilo tako, onda za svako [inlmath]\varepsilon[/inlmath] mora da postoji neko [inlmath]\delta[/inlmath] tako da vazi:
[dispmath]0<|x-a|<\delta\Rightarrow\left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{b}\right|<\varepsilon[/dispmath]
Ako izaberemo ono gornje delta, vaze i gornje nejednakosti, i onda malo transformises izraz [inlmath]\left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{b}\right|<\varepsilon[/inlmath] da bi pokazao da je manji od [inlmath]\varepsilon[/inlmath]. Dobijes [inlmath]\left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{b}\right|=\frac{|b-f(x)|}{|b||f(x)|}[/inlmath], iskoristis ove predjasnje nejednakosti, i ispadne da je to manje od [inlmath]\varepsilon[/inlmath], cime je dokazano i ovo svojstvo.

Evo sada ću to pokušati pokazati iz svojstva limesa dokazati to recipročno svojsto.Evo pregledao sam još malo ovo svojstvo proizvoda.Mislio sam da ću nešto znati dokazati ali sada kada sam pokušao ne znam.

Rječ je ovde za [inlmath]|g(x)-b_2|<\frac{|b_2|}{2}[/inlmath] važi [inlmath]\frac{|b_2|}{2}<|g(x)|<\frac{3|b_2|}{2}[/inlmath] tu je problem mislio sam da idem preko nejednakosti trougla u kompleksnoj ravni ali izgleda ne ide jer je [inlmath]<[/inlmath] a ne [inlmath]\le[/inlmath]
Evo radio sam ja nešto ali čisto sumljam da mi je tačno.
[dispmath]|g(x)-b_2|\le |g(x)|+|b_2|\le\frac{|b_2|}{2}[/dispmath][dispmath]|g(x)|+|b_2|\le\frac{|b_2|}{2}[/dispmath][dispmath]|g(x)|\le\frac{|b_2|}{2}-|b_2|[/dispmath][dispmath]|g(x)|\le -\frac{|b_2|}{2}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{|g(x)|\ge\frac{|b_2|}{2}}[/dispmath]
Sada po nekoj mojoj logici ako važi ono gore mora i ovo da važi jer je nekako logično
[dispmath]|g(x)-b_2|\le |g(x)|-|b_2|\le\frac{|b_2|}{2}[/dispmath][dispmath]|g(x)|-|b_2|\le\frac{|b_2|}{2}[/dispmath][dispmath]|g(x)|\le\frac{|b_2|}{2}|+|b_2|[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{|g(x)|\le\frac{3|b_2|}{2}}[/dispmath]
Sada koliko je ovo pravilno ne znam. I ako jeste kako se prevorio znak [inlmath]\le[/inlmath] u [inlmath]<[/inlmath]

Ako je [inlmath]|g(x)|[/inlmath] manje od nekog broja i od jos nekog broja – onda izmedju ta dva ne mozes uspostaviti nikakvu nejednakost (bar ne bez dodatnih informacija), ne znas koji je od njih veci, samo znas da su oba veca od [inlmath]|g(x)|[/inlmath]. Tako da ovo sto si napisao nije tacno...

No, evo jos jedan dokaz pravila za proizvod, cini mi se jednostavniji od prethodnog...

Uzimajuci da je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}f(x)=b_1[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to c}g(x)=b_2[/inlmath], koristeci vec dokazano svojstvo za razliku, mozemo konstatovati da je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}\left(f(x)-b_1\right)=0[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to c}\left(g(x)-b_2\right)=0[/inlmath]. To takodje znaci da postoji neko [inlmath]\delta_1[/inlmath] takvo da je za proizvoljno [inlmath]\varepsilon[/inlmath]:
[dispmath]0<|x-c|<\delta_1\Rightarrow\left|(f(x)-b_1)-0\right|<\sqrt{\varepsilon}[/dispmath]
Slicno, za neko [inlmath]\delta_2[/inlmath]:
[dispmath]0<|x-c|<\delta_2\Rightarrow\left|(g(x)-b_2)-0\right|<\sqrt{\varepsilon}[/dispmath]
Uzmemo opet manju deltu, i pokazimo da je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}\left[(f(x)-b_1)\cdot (g(x)-b_2)\right]=0[/inlmath]. Da bi bilo tako, mora da vazi [inlmath]0<|x-c|<\delta\Rightarrow\left|(f(x)-b_1)(g(x)-b_2)-0\right|<\varepsilon[/inlmath], a kako je [inlmath]\left|(f(x)-b_1)(g(x)-b_2)-0\right|=|f(x)-b_1|\cdot |g(x)-b_2|<\sqrt{\varepsilon}\cdot\sqrt{\varepsilon}=\varepsilon[/inlmath], zakljucujemo da to jeste ispunjeno.

Posto smo to dokazali, mozemo dalje... Pre svega, izmnozimo [inlmath](f(x)- b_1)\cdot (g(x)-b_2)[/inlmath], i izrazimo [inlmath]f(x)g(x)[/inlmath] odatle. Dobijamo:
[dispmath]f(x)g(x)=(f(x)-b_1)\cdot (g(x)-b_2)+b_2f(x)+b_1g(x)-b_1b_2[/dispmath]
Propustimo limes kroz ovaj izraz:
[dispmath]\lim_{x\to c}f(x)g(x)=\lim_{x\to c}\left[(f(x)-b_1)\cdot (g(x)-b_2)+b_2f(x)+b_1g(x)-b_1b_2\right]=\\
=\lim_{x\to c}\left[(f(x)-b_1)\cdot (g(x)-b_2)\right]+\lim_{x\to c}b_2f(x)+\lim_{x\to c}b_1g(x)-\lim_{x\to c}b_1b_2[/dispmath]
Ovde smo iskoristili svojstvo za limes zbira i razlike koje smo prethodno vec dokazali... Imamo i svojstvo da konstanta moze da ide ispred limesa. To takodje valja dokazati. Pri tom, mislim na striktiniji dokaz od onog koji si ponudio, tj. onaj koji bi posao iz same definicije limesa. Ako idemo logikom ovog dokaza ne bi cak prosao ni taj tvoj manje striktan, jer dokazujes nesto koristeci svojstvo za proizvod, a da pri tom koristis to nesto u dokazu za proizvod). Taj dokaz cu da ispisem kad zavrsim ovaj trenutni, za proizvod. Uz prethodni limes gde smo pokazali da je limes onog proizvoda razlika nula, i ovo sa konstantom, dobijamo:
[dispmath]\lim_{x\to c}f(x)g(x)=0+b_1b_2+b_1b_2-b_1b_2=b_1b_2[/dispmath]
Time smo dokazali svojstvo vezano za proizvod... E sad, jos ovo za konstantu. Treba pokazati da je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}[kf(x)]=k\lim\limits_{x\to c}f(x)[/inlmath]. Koristeci definiciju limesa imamo neko delta takvo da (uzecu da je limes od [inlmath]f(x)[/inlmath] za [inlmath]x\to c[/inlmath] opet [inlmath]b_1[/inlmath]):
[dispmath]0<|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-b_1|<\frac{\varepsilon}{|k|}[/dispmath]
Treba da pokazemo (uzecemo isto [inlmath]\delta[/inlmath]):
[dispmath]0<|x-c|<\delta\Rightarrow |kf(x)-kb_1|<\varepsilon[/dispmath]
Kako je [inlmath]|kf(x)-kb_1|=|k||f(x)-b_1|<|k|\cdot\frac{\varepsilon}{|k|}=\varepsilon[/inlmath], to zaista vazi.

E sad, posto su sad sva svojstva dokazana, da sumiram pricu... Limes je striktno definisan na ovaj nacin sa epsilon-delta okolinama, i onda, ovako definisan ima odredjena svojstva koja slede iz same definicije, i stoga se moraju iz nje i izvesti (ili drugih svojstava koje iz nje slede). Tako nemas ni kruzne argumentacije, niti pozivanja na nedokazana svojstva – tu je samo ta definicija iz koje sledi sve. Tu definiciju valja razumeti, u cemu ti ovi dokazi mozda mogu dodatno pomoci, ali po mom misljenju i nisu nuzni. Kao sto si mogao da primetis, sistem je kod svih krajnje slican – trik je u pogodnom odabiru [inlmath]\varepsilon[/inlmath]... Pri tom se retko gde (i ne puno) izlazi iz podrucja ove price o okolinama. Limes ces razumeti kada budes razumeo tu pricu, koja uopste nije toliko slozena koliko mozda zvuci da jeste. Za zadatke, pogotovo na nivou srednje skole, ovo znanje ti nece trebati. Ako se zelis udubiti, imas ovo. A kao sto rekoh, i vise od toga – prica o limesu se moze ispricati i sa filterima, recimo.

Upravu si kada sam pomnožio sa [inlmath]-1[/inlmath] dobio sam suprotne znake a zaboravio sam napisati [inlmath]-|g(x)|[/inlmath]. Mislim [inlmath]-[/inlmath] sam zaboravio. Vrtio sam ja nešto i sa tim cak kada sam to uvrstio dobio sam [inlmath]\frac{|b-f(x)|}{|b||f(x)|}<\varepsilon[/inlmath] ali sigurno to nije tačno. Ali pokušaću ovo uraditi sve ponovo.