Je li funkcija periodična, i ako je odredi joj najmanji period [inlmath]T[/inlmath].
[dispmath]\begin{array}{ll}
a) & f(x)=a\sin\lambda x +b\cos\lambda x\\
b) & f(x)=\sqrt{\mathrm{tg}\:x}\\
c) & f(x)=\sin^2x\\
d) & f(x)=\sin(\sqrt x)
\end{array}[/dispmath]
Pretpostavljam da su sve ove trigonometrijske funkcije i dalje perodične bez obzira na korijen i kvadrat.
Sinus i kosinus funkcija se ponavlja za svako [inlmath]\pi[/inlmath].
A tanges i kotanges za [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath].
To je temeljni period.

I znam da u obliku
[dispmath]f(x)=A\sin(Bx+C)[/dispmath][dispmath]T=\frac{\mathrm{temeljni\:period}}{|B|}[/dispmath]

blake je napisao:[dispmath]a)\quad f(x)=a\sin\lambda x +b\cos\lambda x[/dispmath]

[dispmath]f\left(x\right)=f\left(x+T\right)[/dispmath][dispmath]a\sin\lambda x+b\cos\lambda x=a\sin\lambda\left(x+T\right)+b\cos\lambda\left(x+T\right)[/dispmath][dispmath]a\sin\lambda x+b\cos\lambda x=a\sin\left(\lambda x+\lambda T\right)+b\cos\left(\lambda x+\lambda T\right)[/dispmath]Za [inlmath]\lambda T=2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath] ova jednakost će biti zadovoljena, što znači da je period ove funkcije [inlmath]T=\frac{2k\pi}{\lambda},\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath], a osnovni period odgovara slučaju [inlmath]k=1[/inlmath], tj. [inlmath]T=\frac{2\pi}{\lambda}[/inlmath].

blake je napisao:[dispmath]b)\quad f(x)=\sqrt{\mathrm{tg}\:x}[/dispmath]

Ova funkcija je definisana samo za [inlmath]\mathrm{tg}\:x\ge 0[/inlmath], tj. u intervalima [inlmath]\left[k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath].[dispmath]f\left(x\right)=f\left(x+T\right)[/dispmath][dispmath]\sqrt{\mathrm{tg}\:x}=\sqrt{\mathrm{tg}\left(x+T\right)}[/dispmath]Kvadriramo, uz uslov [inlmath]x\in\left[k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath]:[dispmath]\mathrm{tg}\:x=\mathrm{tg}\left(x+T\right)[/dispmath]Period je [inlmath]T=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath], a osnovni period je [inlmath]T=\pi[/inlmath].

blake je napisao:[dispmath]c)\quad f(x)=\sin^2x[/dispmath]

[dispmath]f\left(x\right)=f\left(x+T\right)[/dispmath][dispmath]\sin^2 x=\sin^2\left(x+T\right)[/dispmath][dispmath]\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1-\cos 2\left(x+T\right)}{2}\quad /\cdot 2[/dispmath][dispmath]\cancel 1-\cos 2x=\cancel 1-\cos 2\left(x+T\right)[/dispmath][dispmath]\cos 2x=\cos 2\left(x+T\right)[/dispmath][dispmath]\cos 2x=\cos\left(2x+2T\right)[/dispmath]Jednakost je tačna za [inlmath]2T=2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\;\Rightarrow[/inlmath] period je [inlmath]T=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath], a osnovni period je [inlmath]T=\pi[/inlmath].

blake je napisao:[dispmath]d)\quad f(x)=\sin(\sqrt x)[/dispmath]

Ova funkcija je definisana samo za [inlmath]x\ge 0[/inlmath].[dispmath]f\left(x\right)=f\left(x+T\right)[/dispmath][dispmath]\sin\sqrt x=\sin\sqrt{x+T}[/dispmath][dispmath]\sqrt{x+T}=\sqrt x+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/dispmath]Kvadriramo, uz uslov [inlmath]x\ge 0[/inlmath]:[dispmath]\cancel x+T=\cancel x+4k\pi\sqrt x+4k^2\pi^2[/dispmath][dispmath]T=4k\pi\sqrt x+4k^2\pi^2[/dispmath]Period mora da bude konstantan i da ne zavisi od [inlmath]x[/inlmath], a pošto to ovde nije slučaj, zaključujemo da funkcija nije periodična.
Ako bi se nacrtao grafik, videlo bi se da bi s povećanjem vrednosti [inlmath]x[/inlmath], oscilacije postajale sve „rastegnutije“, dok bi smanjivanjem vrednosti [inlmath]x[/inlmath] prema nuli postajale sve „zbijenije“.

blake je napisao:Sinus i kosinus funkcija se ponavlja za svako [inlmath]\pi[/inlmath].
A tanges i kotanges za [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath].
To je temeljni period.

Ne, kod sinusa i kosinusa osnovni period je [inlmath]2\pi[/inlmath], a kod tangensa i kotangensa je [inlmath]\pi[/inlmath]. (Nemoj gutati ovo „n“, jeste malo lomljenje jezika, pogotovo kod kotangensa, ali piše se s tim „n“.)

Ala dva pi i piiiiii!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
To san i mislija!

Evo da ne otvaram novu temu imam jedan zadatak iz periodičnosti koji sam uradio na jedan svoj način u kojeme je ne vidim grešku naravno daje netačno riješenje. Periodičnost treba da bude [inlmath]T=\pi[/inlmath]. Sigurno zamka je negdje na kraju.Znači imam ja i drugo ispravno riješenje samo me zanima šta ovde kod mene nije dobro.
[dispmath]f(x)=\sin^4(x)[/dispmath][dispmath]f(x+T)=\sin^4(x+T)[/dispmath][dispmath]f(x)=f(x+T)[/dispmath][dispmath]\sin^4(x)-\sin^4(x+T)=0[/dispmath][dispmath]\left(\sin^2(x)-\sin^2(x+T)\right)\left(\sin^2(x)+\sin^2(x+T)\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(\sin^2(x)-\sin^2(x+T)\right)=0\;\lor\;\cancel{\left(\sin^2(x)+\sin^2(x+T)\right)=0}[/dispmath][dispmath]\big(\sin(x)-\sin(x+T)\big)\big(\sin(x)+\sin(x+T)\big)=0[/dispmath][dispmath]\sin(x)=\sin(x+T)\;\lor\;\sin(x)=\sin(-x-T)[/dispmath]
Sada iz prvoga slučaja očigledno je da je periodičnost [inlmath]2k\pi ,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath] a iz drugoga slučaja [inlmath]-2k\pi ,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath] i iz ovoga se zaključi da je osnovni period [inlmath]2\pi[/inlmath] što nije tačno. Možda je ovo sve i dobro samo treba naći neki drugi način zaključivanja periodičnosti.

Gamma je napisao:a iz drugoga slučaja [inlmath]-2k\pi ,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath]

Ne, iz drugog slučaja, [inlmath]\sin x=\sin\left(-x-T\right)[/inlmath], dobije se da je [inlmath]T=\left(2k+1\right)\pi ,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath], što u uniji sa skupom rešenja prvog slučaja, [inlmath]T=2k\pi ,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath], daje skup rešenja [inlmath]T=k\pi ,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath], odakle sledi da osnovni period iznosi [inlmath]\pi[/inlmath].

Kako si došo do toga riješenja?Evo ja probavam ne mogu da skontam nikako.

Pa, evo. Sinus ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] je na ovoj slici obeležen zelenom bojom,


a na ovoj slici je zelenom bojom obeležen sinus ugla [inlmath]\left(-\alpha-T\right)[/inlmath]:


Koliko treba da iznosi ugao [inlmath]T[/inlmath] da bi zeleno označena dužina na drugoj slici bila jednaka zeleno označenoj dužini na prvoj slici?

---

A mogu ti i jednostavno pokazati da se iz [inlmath]\sin x=\sin\left(-x-T\right)[/inlmath] ne dobija [inlmath]-2k\pi ,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath] kako si ti dobio. Uvrštavanjem tog rešenja u jednakost [inlmath]\sin x=\sin\left(-x-T\right)[/inlmath],
[dispmath]\sin x=\sin\left[-x-\left(-2k\pi\right)\right]\\
\sin x=\sin\left(-x+2k\pi\right)\\
\sin x=\sin\left(-x\right)\\
\sin x=-\sin x[/dispmath]
Kontradikcija.

Jasno mi je sada na šta se svodi ta priča.Ostala su mi još dva zadatka da kompletiram ovu periodičnost.
1) [inlmath]f(x)=[x][/inlmath] i piše razlomljeni dio broja [inlmath]x[/inlmath] uopšte nemam blage veze šta to znači.
2) [inlmath]f(x)=\sin^3x[/inlmath]
Za ovu drugu funkciju veoma slično kao i za prvu funkciju
[dispmath]f(x)=\sin^3x[/dispmath][dispmath]f(x+T)=\sin^3(x+T)[/dispmath][dispmath]f(x)=f(x+T)[/dispmath][dispmath]\sin^3x=\sin^3(x+T)[/dispmath][dispmath]\sin^3x-\sin^3(x+T)=0[/dispmath][dispmath]\big(\sin x-\sin(x+T)\big)\left(\sin^2x+\sin x\sin(x+T)+\sin^2(x+T)\right)=0[/dispmath][dispmath]\sin x=\sin(x+T)\lor\left(\sin^2x+\sin x\sin(x+T)+\sin^2(x+T)\right)=0[/dispmath]
Iz prvoga dijela očigledo je da je periodičnost [inlmath]2\pi[/inlmath] što jeste i tačno rješenje. A Ovaj drugi dio me zbunjuje pitanje je kako tu odrediti [inlmath]T[/inlmath] ?

Gamma je napisao:1) [inlmath]f(x)=[x][/inlmath] i piše razlomljeni dio broja [inlmath]x[/inlmath] uopšte nemam blage veze šta to znači.

Razlomljeni deo broja dobiješ kad od nekog realnog broja oduzmeš celobrojnu vrednost tog broja (tj. oduzmeš najveći ceo broj koji je manji od tog broja).
– od broja [inlmath]25,83682[/inlmath] razlomljeni deo je [inlmath]25,83682-25[/inlmath], tj. [inlmath]0,83682[/inlmath].
– od broja [inlmath]4,3751[/inlmath] razlomljeni deo je [inlmath]4,3751-4[/inlmath], tj. [inlmath]0,3751[/inlmath].
– od broja [inlmath]7[/inlmath] razlomljeni deo je [inlmath]7-7[/inlmath], tj. [inlmath]0[/inlmath].
– od broja [inlmath]\pi[/inlmath] razlomljeni deo je [inlmath]3,14159\ldots-3[/inlmath], tj. [inlmath]0,14159\ldots[/inlmath]
Dakle, razlomljeni deo broja uvek se nalazi u intervalu [inlmath]\left[0,1\right)[/inlmath].

Gamma je napisao:[dispmath]\sin x=\sin(x+T)\lor\left(\sin^2x+\sin x\sin(x+T)+\sin^2(x+T)\right)=0[/dispmath]
Iz prvoga dijela očigledo je da je periodičnost [inlmath]2\pi[/inlmath] što jeste i tačno rješenje. A Ovaj drugi dio me zbunjuje pitanje je kako tu odrediti [inlmath]T[/inlmath] ?

Nikako. Taj drugi deo ignorišeš, jer on nikad i ne može biti nula.
Kad rastavljaš zbir ili razliku kubova,
[dispmath]a^3\pm b^3=\left(a\pm b\right)\left(a^2\mp ab+b^2\right)[/dispmath]
ovaj drugi faktor, [inlmath]\left(a^2\mp ab+b^2\right)[/inlmath], uvek je veći od nule (eventualno jednak nuli kada su i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] jednaki nuli, ali taj slučaj ovde nemamo), u šta se možeš i uveriti ako ga posmatraš kao funkciju, bilo od [inlmath]a[/inlmath], bilo od [inlmath]b[/inlmath], pa tražiš nule te funkcije. Dobićeš da je diskriminanta manja od nule, što znači da ta funkcija nema nule.
Drugim rečima, znak izraza [inlmath]a^3\pm b^3[/inlmath] isti je kao i znak njegovog faktora [inlmath]a\pm b[/inlmath].

Čak kada si mi i objasnio taj razlomljeni dio broja [inlmath]x[/inlmath].Ponovo ne znam kako tu ispitati periodičnost. Zbunjuje me to zaokruživanje. Mada meni je više ovo nalik na neko programiranje to bi trebalo biti ovako [inlmath]f(x)=x-\mathrm{round}(x)[/inlmath].Zapravo pitanje je kakvu funkciju staviti za zaokruživanje. Koliko se sjećam ROUND se koristi u excelu pascalu itd.. A kod C-a koristi se funkcija [inlmath]\mathrm{floor}(x)[/inlmath].Sada ne znam kakva se treba koristiti u ovome slučaju i kako početi ispitivati periodičnost.