Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 7.4.2012. – 4. razred

Što se tiče funkcionalnih jednačina i nismo radili neke malo teže primjere. Sve je ono najčešće preko smjene [inlmath]t[/inlmath]. U ovome zadatku nije mi jasan prvi korak ne znam zašto su komplikovali kada se odmah može odrediti [inlmath](n-m)f(n+m)[/inlmath]. Što su ubacivali [inlmath](n+m)f(n-m)[/inlmath]. Ja bih ovo ovako uradio [inlmath](n-m)f(n+m)=(n-m)\left(a(n+m)+\frac{(n+m)(n+m-1)}{2}d\right)[/inlmath]. Uvrstim odmah [inlmath]n+m[/inlmath] u funkciju aritmetičkog niza.I ovo pod 2 mi nije jasno. Kako odjednom uvrsti [inlmath]k[/inlmath] i stavi [inlmath]m=1[/inlmath]? Zapravo uopšte ne znam kako se rijšava funkcionalna jednačina ovakvoga tipa.

Zadatak:
Dokazati da funkcija [inlmath]f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}[/inlmath] zadovoljava funkcionalnu jednačinu [inlmath](n-m)f(n+m)=(n+m)\big(f(n)-f(m)\big)[/inlmath] za svako [inlmath]n,m\in\mathbb{N}[/inlmath] ako i samo ako postoji aritmetički niz za koji [inlmath]f(n)[/inlmath] predstavlja sumu prvih [inlmath]n[/inlmath] članova niza.

Rješenje:
1. Predpostavimo da je [inlmath]f(n)[/inlmath] suma prvih [inlmath]n[/inlmath] članova aritmetičkog niza čiji je prvi član [inlmath]a_1=a[/inlmath] i razlika [inlmath]d[/inlmath]. Tada je :
[dispmath]f(n)=\frac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)[/dispmath][dispmath]f(n)=na+\frac{n(n-1)}{2}d[/dispmath]
pa je:
[dispmath](n+m)\big(f(n)-f(m)\big)=(n+m)\left(a(n-m)+\frac{n^2-n-m^2+m}{2}d\right)=\\
=(n+m)\left(a(n-m)+\frac{(n-m)(n+m-1)}{2}d\right)=(n-m)(n+m)\left(a+\frac{n+m-1}{2}d\right)=\\
=(n-m)\left(a(n+m)+\frac{(n+m)(n+m-1)}{2}d\right)=(n-m)f(n+m)[/dispmath]
2. Neka je [inlmath]f[/inlmath] rješenje funkcionalne jednačine 1. Zamjenom
[dispmath]n=k,\:m=1:\;(k-1)f(k+1)=(k+1)\big(f(k)-f(1)\big)[/dispmath][dispmath]n=k+1,\:m=1:\;kf(k+2)=(k+2)\big(f(k+1)-1\big)[/dispmath][dispmath]n=k,\:m=2:\;(k-2)f(k+2)=(k+2)\big(f(k)-2\big)[/dispmath]
Za [inlmath]k\ge3[/inlmath] dobijamo [inlmath]f(k)=k(2-k)f(1)+\frac{k(k-1)}{2}f(2)[/inlmath]. Vidimo da je [inlmath]f(n)=an^2+bn,\:n\in\mathbb{N}[/inlmath]

Neka je [inlmath]a_1=f(1)=a+b[/inlmath] i [inlmath]f(2)=a_2+a_1=2a_1+d[/inlmath]
[inlmath]4a+2b=2(a+b)+d[/inlmath]
[inlmath]\enclose{box}{d=2a}[/inlmath]

Dakle,zaista za aritmetički niz čiji je prvi član niza [inlmath]a_1=a+b[/inlmath] i razlika [inlmath]d=2a[/inlmath] suma prvih [inlmath]n[/inlmath] članova niza je
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\big(2a_1+(n-1)d\big)=\frac{n}{2}\big(2(a+b)+(n-1)2a\big)=\frac{n}{2}(2b+2an)=an^2+bn=\enclose{box}{f(n)}[/dispmath]

Gamma je napisao:U ovome zadatku nije mi jasan prvi korak ne znam zašto su komplikovali kada se odmah može odrediti [inlmath](n-m)f(n+m)[/inlmath]. Što su ubacivali [inlmath](n+m)f(n-m)[/inlmath].

Nigde u njihovom postupku se ne pojavljuje [inlmath]\left(n+m\right)f\left(n-m\right)[/inlmath].

Gamma je napisao:Ja bih ovo ovako uradio [inlmath](n-m)f(n+m)=(n-m)\left(a(n+m)+\frac{(n+m)(n+m-1)}{2}d\right)[/inlmath]. Uvrstim odmah [inlmath]n+m[/inlmath] u funkciju aritmetičkog niza.

Pa na taj način su i oni radili, samo u suprotnom smeru. Krenuli su od [inlmath]\left(n+m\right)\big(f(n)-f(m)\big)[/inlmath] i došli do [inlmath]\left(n-m\right)f\left(n+m\right)[/inlmath]. Nadam se da znaš da je jednakost simetrična relacija i da, ako se dokaže da je [inlmath]b=a[/inlmath], time je automatski dokazano i da je [inlmath]a=b[/inlmath]?

Gamma je napisao:I ovo pod 2 mi nije jasno. Kako odjednom uvrsti [inlmath]k[/inlmath] i stavi [inlmath]m=1[/inlmath]? Zapravo uopšte ne znam kako se rijšava funkcionalna jednačina ovakvoga tipa.

Prvo, u rešenju je greška. Umesto

Gamma je napisao:[dispmath]n=k,\:m=1:\;(k-1)f(k+1)=(k+1)\big(f(k)-f(1)\big)[/dispmath][dispmath]n=k+1,\:m=1:\;kf(k+2)=(k+2)\big(f(k+1)-{\color{red}1}\big)[/dispmath][dispmath]n=k,\:m=2:\;(k-2)f(k+2)=(k+2)\big(f(k)-{\color{red}2}\big)[/dispmath]

treba da stoji
[dispmath]n=k,\:m=1:\;\left(k-1\right)f\left(k+1\right)=\left(k+1\right)\big(f(k)-f(1)\big)[/dispmath][dispmath]n=k+1,\:m=1:\;kf\left(k+2\right)=\left(k+2\right)\big(f(k+1)-{\color{red}f(1)}\big)[/dispmath][dispmath]n=k,\:m=2:\;\left(k-2\right)f\left(k+2\right)=\left(k+2\right)\big(f(k)-{\color{red}f(2)}\big)[/dispmath]
Pošto su ove jednačine izražene u opštim brojevima [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath], to znači da će one važiti bez obzira na to koje vrednosti uvrstimo za [inlmath]n[/inlmath] i za [inlmath]m[/inlmath]. Uvrštene su baš ove vrednosti kao što je u postupku pokazano, kako bi se zatim iz te tri jednačine mogao dobiti izraz za [inlmath]f\left(k\right)[/inlmath] izražen samo preko [inlmath]f\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]f\left(2\right)[/inlmath].
– iz prve jednačine izraženo je [inlmath]f\left(k\right)[/inlmath] preko [inlmath]f\left(k+1\right)[/inlmath];
– iz druge jednačine izraženo je [inlmath]f\left(k+1\right)[/inlmath] preko [inlmath]f\left(k+2\right)[/inlmath];
– iz treće jednačine izraženo je [inlmath]f\left(k+2\right)[/inlmath] preko [inlmath]f\left(k\right)[/inlmath].
Na taj način se dobije samo jedna jednačina po [inlmath]f\left(k\right)[/inlmath], reši se i dobije se izraz za [inlmath]f\left(k\right)[/inlmath] u kojem figurišu [inlmath]f\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]f\left(2\right)[/inlmath]...

Malo si mi pojasnio ovo ali to još nije dovoljno. Sve mi je sada jasno do ove tri jednačine.Ne razumijem kako dobiti iz te tri jednačine [inlmath]f(k)[/inlmath] i zašto ima uslov [inlmath]k\ge3[/inlmath]? Tačnije rečeno uopšte nemam pojma kako se rješava funkcionalna jednačina.Čito sam ovo dole tvoje upustvo ja sam pokušavao rješiti samo sistem od 3 jednačine s 3 nepoznate ali nije mi išlo.Samo ako ti nije problem započeti rješavanje ovih funkcionalnih jednačina ja ću nastaviti ja sigurno nisam bio na pravome putu. Ili možda još bolje samo daj mi neki banalan primjer da shvatim kako se rješava neka jednostavna funkcionalna jednačina jer to je ono uprvo gdje sam stao.

Uspio sam izračunati [inlmath]f(k)[/inlmath].Nema nikakvog sistema od 3 jednačine s 3 nepoznate samo sam to iskomplikovo. Odmah se treća jednačina ubacuje u jednačinu koja nastaje od prve dvije.Ja sam tako radio malo je dugačan način. Sada ne znam možda postoji i neki fazon da se to skrati. Ali ja sam to tako uradio. Tako da je i ovaj zadatak završen konačno.