Zadatak je sa jednog takmicenja iz hemije ali ima i te kako veze sa matematikom Izmenjena verzija zadatka glasi: Utvrdjeno je da u prirodi ima [inlmath]22,7[/inlmath] puta vise molekula butana [inlmath](C_4H_{10})[/inlmath] sa molarnom masom [inlmath]58[/inlmath] nego onog sa masom [inlmath]59[/inlmath]. Koliko je puta manje molekula sa molarnom masom [inlmath]60[/inlmath] u odnosu na molekule sa masom [inlmath]58[/inlmath]? Uzmite u obzir da se u prirodi ugljenik javlja u dva izotopska oblika [inlmath]C_{12}[/inlmath] i [inlmath]C_{13}[/inlmath] a vodonik u samo jednom.

Prvo treba naći verovatnoću pojave izotopskog oblika [inlmath]C_{13}[/inlmath].

Verovatnoće pojave butana s molarnom masom [inlmath]58[/inlmath] i s molarnom masom [inlmath]59[/inlmath] odnose se upravo onoliko koliko ovog prvog ima u prirodi više od onog drugog, dakle
[dispmath]P\left(\mbox{molarna masa}=58\right):P\left(\mbox{molarna masa}=59\right)=22,7:1\\
\Rightarrow\quad P\left(\mbox{molarna masa}=58\right)=22,7P\left(\mbox{molarna masa}=59\right)[/dispmath]
Svaku od ove dve verovatnoće predstavimo preko verovatnoće [inlmath]P\left(C_{12}\right)[/inlmath].
Radi lakšeg zapisivanja, uvešću oznaku [inlmath]p=P\left(C_{12}\right)[/inlmath]. Naravno, tada je [inlmath]P\left(C_{13}\right)=1-p[/inlmath].
Slučajna promenljiva koja predstavlja broj pojavljivanja izotopa [inlmath]C_{13}[/inlmath] među [inlmath]n[/inlmath] slučajno odabranih ugljenikovih atoma ima binomnu raspodelu, [inlmath]P\left(X=k\right)={n\choose k}p^{n-k}\left(1-p\right)^k[/inlmath], pri čemu u molekulu butana imamo ukupno [inlmath]4[/inlmath] atoma ugljenika, dakle, [inlmath]n=4[/inlmath].

Kod molekula butana s molarnom masom [inlmath]58[/inlmath] nema nijednog izotopa [inlmath]C_{13}[/inlmath] (sva četiri atoma ugljenika su [inlmath]C_{12}[/inlmath]), pa je [inlmath]k=0[/inlmath]:
[dispmath]P\left(\mbox{molarna masa}=58\right)={4\choose0}p^{4-0}\left(1-p\right)^0=p^4[/dispmath]
dok kod molekula butana s molarnom masom [inlmath]59[/inlmath] imamo jedan [inlmath]C_{13}[/inlmath] (preostala tri atoma ugljenika su [inlmath]C_{12}[/inlmath]), pa je [inlmath]k=1[/inlmath]:
[dispmath]P\left(\mbox{molarna masa}=59\right)={4\choose1}p^{4-1}\left(1-p\right)^1=4p^3\left(1-p\right)[/dispmath]
Odatle sledi, imajući u vidu odnos ovih verovatnoća:
[dispmath]p^\cancel4=22,7\cdot4\cancel{p^3}\left(1-p\right)\\
p=90,8\cdot4\left(1-p\right)\\
\vdots\\
p=\frac{90,8}{91,8}=\frac{454}{459}[/dispmath]
Da li bi sada, kada znaš [inlmath]p[/inlmath], mogao na osnovu binomne raspodele da odrediš izraz za verovatnoću pojavljivanja butana s molarnom masom [inlmath]60[/inlmath], znajući da u njemu moraju biti dva izotopska oblika [inlmath]C_{12}[/inlmath] i dva izotopska oblika [inlmath]C_{13}[/inlmath]?