Resi nejednacinu:
[dispmath]\sqrt{5-2\sin\frac{x}{6}}>6\sin\frac{x}{6}-1[/dispmath]
Dobio sam ovakvu nejednacinu:
[dispmath]18t^2-5t-2<0[/dispmath] gde je [inlmath]t=\sin\frac{x}{6}[/inlmath].
D li je dobro?

I za ovaj zadatak mi je potrebna konsultacija.
Resi nejednacinu [inlmath]4\cos^2x-3>0[/inlmath]
Dobio sam [inlmath]\cos x>\frac{\sqrt 3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\cos x<-\frac{\sqrt 3}{2}[/inlmath].
E sad, ako moze pojasnjenje kako dalje, jer nismo u skoli po planu radili ove nejednacine.

Ako se dobro sećam ove oblasti, trebalo bi da ide ovako. Izvini ako sam pogrešio negde.
[dispmath]4\cos^2x-3>0\\
4\cos^2x>3\\
\cos^2x>\frac{3}{4}\\
\cos x>\pm\frac{\sqrt3}{2}\\[2em][/dispmath]
E, sad, pogledaj sliku. Da bi [inlmath]\cos x[/inlmath] bilo veće od [inlmath]\frac{\sqrt 3}{2}[/inlmath], [inlmath]x[/inlmath] treba da bude između [inlmath]-\frac{\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath]. Takođe, da bi bio veći od [inlmath]-\frac{\sqrt 3}{2}[/inlmath], treba da bude veći od [inlmath]\pi-\frac{\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]\pi+\frac{\pi}{6}[/inlmath]. E, sad, možeš primetiti da [inlmath]\pi\pm\frac{\pi}{6}[/inlmath] možemo zapisati i kao [inlmath]\pm\frac{\pi}{6}+k\pi[/inlmath]. Što bi značilo da je rešenje ove nejednačine: [inlmath]x>\pm\frac{\pi}{6}+k\pi[/inlmath]


EDIT: Kada sam rekao "treba da bude između", hteo sam da kažem sa desne strane (pošto bi se "između" moglo protumačiti i sa leve strane ).

Da,u resenju je [inlmath]x\in\left(-\frac{\pi}{6}+k\pi,\frac{\pi}{6}+k\pi\right)[/inlmath]

A jesi li ukapirao u čemu je fazon?

Meni je profesorka bila dala neke formule preko kojih se rade ti uslovi, al' to mi ništa nije bilo jasno, pa sam se oslonio na logiku. Imaš neke fajlove na domaćem jeziku na netu koji ti mogu biti od pomoći. Inače, ima i zadataka koje sam postavljao ovde na Matemaniji, tako da generalno nije problem ukapirati ove zadatke.

Što se prvog zadatka tiče, čini mi se da tu imamo posla sa iracionalnim nejednačinama i gomilom uslova koje one treba da zadovolje. Jeste li radili to?

Da, ukapirao sam fazon obih trigonometrijskih nejednacina. A u ovom prvom zadatku dobijam [inlmath]-\frac{2}{9}<t<\frac{1}{2}[/inlmath] Zbunjuje me ovo [inlmath]\sin\frac{x}{6}=-\frac{2}{9}[/inlmath]. tj. ne znam kako da tu odredim ugao.Moguce je da sam pogresio.

Stevane, sve je sasvim tačno što govoriš, samo je notacija malo zbunjujuća, pa mi, nadam se, nećeš zameriti ako pokušam da malo korigujem neke detalje.

Nije pravilno pisati [inlmath]\cos x>\pm\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] – tako napisana nejednakost, zapravo, ne znači ništa. Kad bismo umesto znaka nejednakosti imali znak jednakosti, tj. [inlmath]\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], to bi bilo savršeno jasno – [inlmath]\cos x[/inlmath] bi tada mogao imati neku od dve vrednosti, [inlmath]-\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]. Ali, pošto imamo znak nejednakosti, to je onda pravilno pisati na onaj način na koji je Miladin napisao, [inlmath]\cos x<-\frac{\sqrt 3}{2}\;\lor\;\cos x>\frac{\sqrt 3}{2}[/inlmath].

I, zapravo bi bilo pravilnije reći da iz [inlmath]\cos x>\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] sledi da je [inlmath]x[/inlmath] između [inlmath]-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] (obavezno [inlmath]2k\pi[/inlmath], zbog periodičnosti), a iz [inlmath]\cos x<-\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] sledi da je [inlmath]x[/inlmath] između [inlmath]\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]\pi+\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath], tj. između [inlmath]-\frac{\pi}{6}+\left(2k+1\right)\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{6}+\left(2k+1\right)\pi[/inlmath], pa bi onda unija tih rešenja bila između [inlmath]-\frac{\pi}{6}+k\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{6}+k\pi[/inlmath], tj. [inlmath]2k[/inlmath] i [inlmath]2k+1[/inlmath], kao skup parnih i skup neparnih prirodnih brojeva, zajedno čine ceo skup prirodnih brojeva.
Onako kako si ti napisao možda jeste lakše za razumevanje i bez mnogo komplikovanja, ali ovako je ipak pravilnije.

Što se prvog zadatka tiče, Miladine, ispravno si rešio kvadratnu jednačinu, dobivši [inlmath]-\frac{2}{9}<t<\frac{1}{2}[/inlmath]. Međutim, kao što Stevan reče, pre započinjanja rešavanja jednačine moraš postaviti neke uslove. Pre svega, potkorena veličina ne sme biti negativna – ako je negativna, leva strana nejednačine nije definisana, pa onda ništa ni od rešavanja same nejednačine. Znači, prvi i osnovni uslov je, da je potkorena velićina [inlmath]\ge 0[/inlmath]. Dalje, pošto prilikom kvadriranja obe strane nejednačine gubimo informaciju o znaku, moramo pre kvadriranja da diskutujemo i sledeće: pošto je leva strana nejednačine uvek [inlmath]\ge 0[/inlmath] (jer kvadratni koren, po svojoj definiciji, uvek daje vrednost koja je [inlmath]\ge 0[/inlmath]), a desna strana nejednačine je manja od leve, to znači da će nejednačina sigurno biti zadovoljena onda kada je desna strana nejednačine [inlmath]<0[/inlmath].

Sve to, konkretno, znači: nađeš rešenja kvadratne jednačine, kao što si već učinio; nađeš uniju skupa tih rešenja sa skupom vrednosti [inlmath]t[/inlmath] za koje je vrednost desne strane nejednačine manja od nule; na kraju, nađeš presek prethodno dobijenog skupa sa skupom vrednosti [inlmath]t[/inlmath] za koje je potkorena veličina [inlmath]\ge 0[/inlmath].
Kao konačno rešenje po [inlmath]t[/inlmath] dobićeš [inlmath]t<\frac{1}{2}[/inlmath].

E, posle ide odbacivanje rešenja koja su van intervala [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath] (jer [inlmath]t[/inlmath] predstavlja sinus, a vrednost sinusa je iz tog intervala), vraćanje smene, računanje [inlmath]x[/inlmath] itd.

Dakle, ako sam dobro razumeo, imamo kao resenje kvadratne nejednacine [inlmath]t\in\left(-\frac{2}{9},\frac{1}{2}\right)[/inlmath]
Sa desne strane nejednacine imamo vrednosti za koje je desna strana manja od nule,tj. [inlmath]t<\frac{1}{6}[/inlmath]
Sad nadjem uniju [inlmath]t\in\left(-\frac{2}{9},\frac{1}{6}\right)\cup\left(\frac{1}{6},\frac{1}{2}\right)[/inlmath]. Je li dobro?

Pa, nije. Ne znam kako si dobio tu uniju. Dakle, ako je jedan skup rešenja [inlmath]\left(-\frac{2}{9},\frac{1}{2}\right)[/inlmath], a drugi skup rešenja [inlmath]\left(-\infty,\frac{1}{6}\right)[/inlmath], onda je njihova unija [inlmath]\left(-\frac{2}{9},\frac{1}{2}\right)\cup\left(-\infty,\frac{1}{6}\right)[/inlmath], zar ne?

Naravno, ta unija se onda svodi na [inlmath]\left(-\infty,\frac{1}{2}\right)[/inlmath].

Uspeo sam da sredim ove unije... i dobija se da se [inlmath]t[/inlmath] nalazi u intervalu izmedju minus beskonacno i [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. Valjda uzimajuci u obzir da je [inlmath]t=\sin\frac{x}{6}[/inlmath] umesto minus beskonacno pisao bih [inlmath]-1[/inlmath]. Nadjem ja uglove, ali ne znam kako dalje.