Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 7.4.2012. – 1. razred

Neka je [inlmath]S=\{-2,-1,0,1,2\}[/inlmath] i neka je u pravouglom koordinatnom sistemu oznaceno, na proizvoljan nacin, [inlmath]17[/inlmath] tacaka iz skupa [inlmath]S\times S[/inlmath]. Dokazati da postoje tri oznacene tacke [inlmath]A,B,C[/inlmath] takve da je [inlmath]B[/inlmath] srediste duzi [inlmath]AC[/inlmath].

Ovo je zadatak u kojeme slabo sta razumijem cak imam i rjesenje ali ponovo ne mogu da ga skontam. Najbolje bi bilo ako neko moze malo da ovo rastumaci ,kaze poentu svojim rjecima i nacrta neku sliku da ovo malo bolje razumijem.

Rjesenje:
Imamo dva slucaja.

1) Kordinatni pocetak je oznacen.Razbijmo preostale [inlmath]24[/inlmath] tacke skupa [inlmath]S\times S[/inlmath] na [inlmath]12[/inlmath] parova centralno simetricnih tacaka (centar simetrije je kordinatni pocetak).Kako je oznacenih tacaka vise od [inlmath]13[/inlmath], u jednom od ovih parova su obije tacke oznacene.Te dvije tacke i kordinatni pocetak su tri trazene tacke.

2) Kordinatni pocetak nije oznacen.Razbijmo preostale tacke skupa [inlmath]S\times S[/inlmath] na sledecih [inlmath]8[/inlmath] podskupova:
[dispmath]\{(-2,-2),(-2,-1),(-2,0)\},\{(-1,-2),(-1,-1),(-1,0)\},\{(0,-2),(1,-2),(2,-2)\},\{(0,-1),(1,-1),(2,-1)\},\\
\{(2,0),(2,1),(2,2)\},\{(1,0),(1,1),(1,2)\},\{(0,2),(-1,2),(-2,-2)\},\{(0,1),(-1,1),(-2,2)\}[/dispmath]
3) Kako je oznacenih tacaka [inlmath]17[/inlmath], na osnovu Dirihleovog principa u jednom od ovih podskupova su sve tri tacke oznacene. To su tri trazene tacke.

Cak me i zbunjuje pojam "RAZBIJMO" sta to znaci ? Nije valjda samo da ih postavimo u kordinatni sistem.

Dakle, "množenjem" sklupa [inlmath]S[/inlmath] sa samim sobom, dobijamo Dekartov proizvod [inlmath]S\times S[/inlmath], koji sadrži uređene parove: [inlmath](-2,-2),\;(-2,-1),\;(-2,0)\dots (0,-1),\;(0,0),\;(0,1)\dots (2,0),\;(2,1),\;(2,2)[/inlmath]. Ukupno imamo [inlmath]25[/inlmath] uređenih parova. Svaki od tih uređenih parova predstavlja jednu tačku u Dekartovom koordinatnom sistemu.
To izgleda ovako:


U zadatku se traži da dokažemo da, ako nasumično odaberemo [inlmath]17[/inlmath] tačaka, u tih [inlmath]17[/inlmath] komada će postojati tri tačke [inlmath]A,B,C[/inlmath] tako da je [inlmath]B[/inlmath] središte duži [inlmath]AC[/inlmath].
E sad, potrebno je da znaš šta je središte duži. Ako kojim slučajem nisi siguran i to ćemo razjasniti...

Kao što se navodi u rešenju zadatka, postoje dve mogućnosti: Prva je da u tih [inlmath]17[/inlmath] tačaka bude i izabrana tačka [inlmath](0,0)[/inlmath] (koordinatni početak), a druga je da tačka [inlmath](0,0)[/inlmath] ne bude izabrana.
Ako izaberemo koordinatni početak, preostaje nam još [inlmath]24[/inlmath] tačke da biramo. Te [inlmath]24[/inlmath] tačke možemo podeliti u [inlmath]12[/inlmath] centralnosimetričnih parova (pogledaj donji gif). Svaki par tih centralnosimetričnih tačaka sa koordinatnim početkom (kojeg smo već izabrali) zadovoljava traženi uslov o središtu duži (koordinatni početak je u ovom slučaju uvek središte duži). Kako nam preostaje još [inlmath]16[/inlmath] tačaka da biramo, sigurni smo da ćemo izabrati ceo jedan par centralnosimetričnih tačaka.



U drugom slučaju skup [inlmath]S^2[/inlmath] razbijamo na [inlmath]8[/inlmath] manjih podskupova koje si naveo. To ovako izgleda:


Primetimo da su u svakom skupu tri tačke postavljene tako, da je jedna od njih središte duži koja se prostire između druge dve. Po Dirihleovom principu, moramo izabrati sve tri tačke iz jednog skupa. Te tri tačke će zadovoljavati traženi uslov.

Veoma zanimljiv zadatak. Nadam se da sam barem malo pojasnio. Slobodno pitaj sve što je ostalo nejasno.

Nije mi jasan ovaj dio

ubavic je napisao:Kako nam preostaje još [inlmath]16[/inlmath] tačaka da biramo, sigurni smo da ćemo izabrati ceo jedan par centralno simetričnih tačka.

Odkud tih [inlmath]16[/inlmath] tacaka kada ukupno ima [inlmath]25[/inlmath] gdje je onih [inlmath]9[/inlmath] tacaka? Tacnije nije mi jasan dio u kojeme je preko ovih [inlmath]17[/inlmath] proizvoljnih tacaka dokazano da mora postojati jedan ovakav par.
I jos ako moze pojasnjenje za ovaj drugi slucaj

ubavic je napisao:Po Dirihleovom principu

malo detaljnije o ovome

Gamma je napisao:Nije mi jasan ovaj dio

ubavic je napisao:Kako nam preostaje još [inlmath]16[/inlmath] tačaka da biramo, sigurni smo da ćemo izabrati ceo jedan par centralno simetričnih tačka.

Odkud tih [inlmath]16[/inlmath] tacaka kada ukupno ima [inlmath]25[/inlmath] gdje je onih [inlmath]9[/inlmath] tacaka? Tacnije nije mi jasan dio u kojeme je preko ovih [inlmath]17[/inlmath] proizvoljnih tacaka dokazano da mora postojati jedan ovakav par.

Imamo ukupno [inlmath]25[/inlmath] tačaka, ali od tih [inlmath]25[/inlmath] tačaka, [inlmath]17[/inlmath] tačaka su označene. Pošto je, prema pretpostavci drugog slučaja, koordinatni početak već označen, preostaje nam još [inlmath]16[/inlmath] tačaka koje treba označiti. Otuda broj [inlmath]16[/inlmath].
Pošto ukupno imamo na raspolaganju (ne računajući koordinatni početak) [inlmath]24[/inlmath] tačke, od kojih treba da označimo njih [inlmath]16[/inlmath], a znamo da se te [inlmath]24[/inlmath] tačke mogu grupisati u [inlmath]12[/inlmath] parova tačaka koje su simetrične jedna drugoj u odnosu na koordinatni početak (kao što je Ubavic prikazao u animiranom gif-u), tada, prema Dirihleovom principu (koji ću objasniti u okviru odgovora na tvoje sledeće pitanje), zaključujemo, pošto označavamo [inlmath]17[/inlmath] tačaka, da će tada među tih [inlmath]12[/inlmath] parova sigurno postojati parovi u kojima su obe tačke označene. To jest, postojaće parovi označenih tačaka takvih da će se koordinatni početak nalaziti tačno na sredini između njih.

Gamma je napisao:I jos ako moze pojasnjenje za ovaj drugi slucaj

ubavic je napisao:Po Dirihleovom principu

malo detaljnije o ovome

Dirihleov princip je nešto sa čime se gotovo svakodnevno susrećemo, samo ne pod tim imenom. Jedan primer Dirihleovog principa bilo bi raspoređivanje [inlmath]6[/inlmath] kanarinaca u [inlmath]5[/inlmath] kaveza. I bez preterano mnogo razmišljanja znamo da tih [inlmath]6[/inlmath] kanarinaca možemo zatvoriti u [inlmath]5[/inlmath] kaveza jedino tako da bar u jednom kavezu bude više od jednog kanarinca. Naravno, to možemo učiniti na razne načine,
[inlmath]1-1-1-1-2\\
1-1-1-2-1\\
\cdots\\
2-1-1-1-1\\
1-1-0-2-2\\
\cdots\\
2-2-1-1-0\\
1-1-1-0-3\\
1-1-1-3-0\\
\cdots\\
6-0-0-0-0[/inlmath]
ali je, sasvim sigurno, nemoguća kombinacija u kojoj ni u jednom kavezu neće biti više od jednog kanarinca. E, to je Dirihleov princip.

Isto tako, ako imamo [inlmath]11[/inlmath] kanarinaca a [inlmath]5[/inlmath] kaveza, tada je očigledno da bar u jednom kavezu mora biti [inlmath]3[/inlmath] ili više kanarinaca. Nemoguće ih je rasporediti tako da ni u jednom kavezu ne bude više od [inlmath]2[/inlmath] kanarinca, jer bi tada, u slučaju najveće prebukiranosti kaveza, u svakome od njih bilo po [inlmath]2[/inlmath] kanarinca, a to bi bilo ukupno [inlmath]5\cdot 2=10[/inlmath] kanarinaca, te bi onaj jedanaesti ostao izvan kaveza.

U uopštenju ovog slučaja, ako imamo [inlmath]n[/inlmath] kaveza i više od [inlmath]k\cdot n[/inlmath] kanarinaca, tada će se u bar jednom kavezu nalaziti više od [inlmath]k[/inlmath] kanarinaca. To jest, bar u jednom kavezu ćemo imati [inlmath]k+1[/inlmath] (ili više) kanarinaca.

Kada izraz kavez zamenimo izrazom skup, a izraz kanarinac zamenimo izrazom element, dolazimo i do formulacije Dirihleovog principa:
Ako je u [inlmath]n[/inlmath] skupova raspoređeno više od [inlmath]k\cdot n[/inlmath] elemenata, tada među tih [inlmath]n[/inlmath] skupova postoji bar jedan skup u kojem će se nalaziti više od [inlmath]k[/inlmath] elemenata.
Alternativna formulacija bi bila:
Ako je u [inlmath]n[/inlmath] skupova raspoređeno [inlmath]k\cdot n+1[/inlmath] ili više elemenata, tada među tih [inlmath]n[/inlmath] skupova postoji bar jedan skup u kojem će se nalaziti bar [inlmath]k+1[/inlmath] elemenata.

Evo malo sam razredio ovo. Procitao sam ovo par puta. I mislim da sam shvatio Dirihelov princip. Tako da mogu reci da mi je ovo nekako jasno